Question

11．寻找地外文明一直是科学家们不断努力的目标．为了探测某行星上是否存在生命，科学家们向该行星发射了一颗探测卫星，卫星绕该行星做匀速圆周运动的半径为r，卫星的质量为m，该行星的质量为M，引力常量为G，试求：
（1）该卫星做圆周运动的向心力的大小；
（2）卫星的运行周期；
（3）若已知该行星的半径为R，试求该行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 卫星做圆周运动万有引力提供向心力，根万有引力定律求出向心力的大小；
研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式求解卫星的运行周期；
根据卫星在圆轨道上运行时的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$求解第一宇宙速度．

解答 解：（1）由万有引力定律得
该卫星做圆周运动的向心力的大小F=G$\frac{mM}{r^2}$．
（2）由牛顿第二定律
G$\frac{mM}{r^2}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
（3）由牛顿第二定律得
G$\frac{m′M}{{R}^{2}}$=$\frac{m{′v}^{2}}{R}$
解得该行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
答：（1）该卫星做圆周运动的向心力的大小是G$\frac{mM}{r^2}$；
（2）卫星的运行周期是2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；
（3）若已知该行星的半径为R，该行星的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．

点评 解决该题关键要通过万有引力提供向心力求解，能正确选择向心力的公式．