Question

12．如图所示，传送带与地面夹角θ=37°，A、B两端间距L=16m，传送带以速度v=10m/s，沿顺时针方向运动，物质m=1kg，无初速地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5．
（1）求物体由A端运动到B端的时间；
（2）求系统因摩擦产生的热量；
（3）若传送带沿逆时针以v=10m/s的速度匀速转动，上述（1）、（2）结果又如何？

Answer 1

分析 （1）因为传送带顺时针转动，所以物体一直匀加速从A运动到B端，根据牛顿第二定律和运动学公式求出物体匀加速运动的时间；
（2）求出物体与传送带间的相对位移，再乘以摩擦力的大小，即为产生的热量；
（3）如传送带以v₀=10m/s的速率逆时针转动，物体开始时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出速度增加到与传送带相同所经历的时间．速度相同时，由于μ＜tan37°，物体继续向下做匀加速运动，所受的滑动摩擦力沿斜面向上，再由牛顿第二定律求出加速度，再位移公式求出时间，即可求得总时间，再求出物体与传送带间的相对位移，再乘以摩擦力的大小，即为产生的热量．

解答 解：（1）因为传送带顺时针转动，所以物体一直匀加速从A运动到B端，
根据牛顿第二定律得：μmgcosθ+mgsinθ=ma
可得 a=10m/s²
根据L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2×16}{10}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}s$
（2）次过程中，传送带运动的位移x=$vt=10×\frac{4\sqrt{5}}{5}=8\sqrt{5}m$，
系统产生的热量 Q=μmgcosθ（L+x）=$（64+32\sqrt{5}）$J．
（3）如传送带以v₀=10m/s的速率逆时针转动，物体开始时受到沿斜面向上的滑动摩擦力，
由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
加速度为a₁=2m/s²，
则物体加速到速度与传送带相同所经历的时间为t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{10}{2}$=5s，
此过程通过的位移为s₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{5}^{2}$=25m＞16m，
因此物体沿着传送带向下滑动，所用时间为t，
则有：t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s
故物体从A运动到B产生的热量Q=μmgcosθ2L=128J．
答：（1）物体由A端运动到B端的时间为$\frac{4\sqrt{5}}{5}s$；
（2）系统因摩擦产生的热量为$（64+32\sqrt{5}）$J；
（3）若传送带沿逆时针以v=10m/s的速度匀速转动，则物体由A端运动到B端的时间为4s，系统因摩擦产生的热量为128J．

点评 从此题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻，还要正确分析能量是如何转化的，掌握功和能的关系．