Question

8．如图所示的木板由倾斜部分和水平部分组成，两部分之间由一段圆弧面相连接．在木板的中间有位于竖直面内的光滑圆槽轨道，斜面的倾角为θ．现有10个质量均为m、半径均为r的均匀刚性球，在施加于1号球的水平外力F的作用下均静止，力F与圆槽在同一竖直面内，此时1号球球心距它在水平槽运动时的球心高度差为h．现撤去力F使小球开始运动，直到所有小球均运动到水平槽内．重力加速度为g．求：
（1）水平外力F的大小；静止时圆槽对小球1的支持力大小；
（2）1号球刚运动到水平槽时的速度；
（3）整个运动过程中，2号球对1号球所做的功．

Answer 1

分析 （1）以10个小球整体为研究对象，受力平衡，根据平衡条件求解水平外力F的大小．以球为研究对象，由平衡条件求支持力的大小；
（2）以1号球为研究对象，下滑过程中只有重力做功，其机械能守恒，则可求出1号球刚运动到水平槽时的速度；
（3）以整体为研究对象，求出所有球滚到水平槽中时的速度，再对1号球运用动能定理求解2号球对1号球所做的功．

解答 解：（1）以10个小球整体为研究对象，由力的平衡条件可得 
     Fcosθ=10mgsinθ．
得F=10mgtanθ
以1号球为研究对象，根据平衡条件得：
圆槽对小球1的支持力  N=mgcosθ+Fsinθ=mgcosθ+10mgtanθsinθ
（2）以1号球为研究对象，球1在斜面上下滑的过程，根据机械能守恒定律可得 
    mgh=$\frac{1}{2}$mv²      得v=$\sqrt{2gh}$
（3）撤去水平外力F后，以10个小球整体为研究对象，利用机械能守恒定律可得
  10mg（h+$\frac{18r}{2}$sinθ）=$\frac{1}{2}$•10mv′²；   
得 v=$\sqrt{2g（h+9rsinθ）}$
以1号球为研究对象，由动能定理得
    mgh+W=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$              
得2号球对1号球所做的功 W=9mgrsinθ
答：
（1）水平外力F的大小是10mgtanθ；圆槽对小球1的支持力为mgcosθ+10mgtanθsinθ．
（2）1号球刚运动到水平槽时的速度是$\sqrt{2gh}$；
（3）整个运动过程中，2号球对1号球所做的功为9mgrsinθ．

点评 本题解题关键有两个：一要选择研究对象，二是明确解题规律．当10个球都在斜面上下滑时，相互间没有作用力，机械能守恒．