Question

19．如图所示，有一半球形容器，其竖直截面为半圆．AB为沿水平方向的直径，D是圆周的最低点，E是AD间某一点，C与E在相同的高度．一个可视为质点的小球从A点以速度v₀水平抛出，恰好落在E点，若以2v₀抛出，恰好落在C点，设球的半径为R，则下列判断正确的是（　　）

• A． 初速度为$\frac{3{v}_{0}}{2}$时，小球恰好落在D点
• B． 初速度为$\frac{3{v}_{0}}{2}$时，小球将落在D点的左侧
• C． OC与竖直方向夹角的正弦值为$\frac{1}{4}$
• D． OE与竖直方向夹角的正弦值为$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动，
竖直方向上的位移已经知道了，但是水平方向的位移要用三角形的知识来求，然后才能求圆的半径．

解答 解：设圆半径为r，质点做平抛运动，设水平方向的位移为x，竖直方向上的位移为y，
则：x=v₀t
由于恰好落在C点时的初速度是恰好落在E点时的初速度的2倍，所以：
x_AC=2x_AE 
连接OC和OE，由于CE在同一条水平线上，由几何关系可知它们与竖直方向之间的夹角相等，设为θ，如图：

则：r+rsinθ=2（r-rcosθ） 
所以：sinθ=$\frac{1}{3}$；所以选项C错误，D正确；
$\frac{1}{2}{x}_{AC}={x}_{AE}=\frac{2}{3}r$
由图可知D点的位置在CE点的下方，由：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知，小球到达D点的时间大于到达CE的时间；
若小球初速度为$\frac{3{v}_{0}}{2}$时，小球落在CE点之间时的位移：$x=v′t′=\frac{3{v}_{0}}{2}•t′＞\frac{3{v}_{0}}{2}•t$=$\frac{3{v}_{0}}{2}•\frac{\frac{2}{3}r}{{v}_{0}}=r$
所以若小球初速度为$\frac{3{v}_{0}}{2}$时，小球落在D点的右侧．故A错误，B错误．
故选：D

点评 考查平抛运动规律的应用，但是水平方向的位移不知道，所以用的数学的知识较多，需要熟练的应用三角形的边角关系．