Question

如下图所示，两块带有等量异种电荷的平行金属板分别固定在长L=1 m的光滑绝缘板的两端，组成一带电框架，框架右端带负电的金属板上固定着一根原长L₀=0.5 m的绝缘轻弹簧。框架的总质量M=9 kg，由于带电，两金属板间存在U=4×10⁴ V的高电压。现用一质量m=1 kg、电荷量q=+2.5×10^-3 C的带电小球（可看成质点，且不影响金属板间的匀强电场）将弹簧压缩ΔL=0.2 m后用轻质细线拴住，使整个装置在光滑水平面上以v₀=1 m/s的速度向右运动，运动中因拴小球的细线突然断裂而使小球被弹簧弹开，小球被弹簧弹开瞬间获得的速度大小v₁=8 m/s，方向向左。不计一切摩擦，且系统电势能的变化量等于小球所受电场力和小球相对于电场沿电场方向发生位移的乘积。

（1）求小球被弹簧弹开的瞬间，框架的速度；

（2）求小球被弹簧弹开的过程中，弹簧释放的弹性势能；

（3）通过分析计算回答：在细线断裂以后的运动中，小球能否与左端金属板发生接触？

Answer 1

解：（1）设小球被弹簧弹开的瞬间，框架的速度为v₂，此时弹簧刚好恢复原长，由动量守恒定律有：(M+m)v₀=Mv₂-mv₁,

解得v₂=2 m/s,

方向向右。

（2）设弹簧释放的弹性势能为E_P，由能量守恒定律得

E_P=(m+M)v₀²=mv₁²+Mv₂²+

代入数据后解得E_P=65 J。

(3)小球脱离弹簧后，向左做减速运动，框架向右做减速运动。小球通过电场与框架发生相互作用，当小球与框架速度再次相等时，小球相对框架位移最大。

根据动量守恒，有：

Mv₂-mv₁=(M+m)v

解得：小球和框架的共同速度v=v₀=1 m/s,

设小球被弹开到两者速度再次相等，小球对地位移为s₁，框架对地位移为s₂，根据动能定理有：

对小球：=mv²-mv²₁

对框架：=Mv²-Mv²₂

代入数值解得：s₁=31.5 cm(向左)

s₂=13.5 cm(向右）

小球被弹开时距框架左侧的距离为L-ΔL=0.5 m

因s₁+s₂=0.45 m＜0.5 m,故小球不会碰到左侧金属板。