Question

2．如图，电源电动势E₀=15V，内阻r₀=1Ω，电阻R₁=30Ω，R₂=60Ω．间距d=0.2m的两平行金属板水平放置，板间分布有垂直于纸面向里、磁感应强度B=1T的匀强磁场．闭合开关S，板间电场视为匀强电场，将一带正电的小球以初速度v=0.1m/s沿两板间中线水平射入板间．设滑动变阻器接入电路的阻值为R_x，忽略空气对小球的作用，取g=10m/s²．

（1）当R_x=29Ω时，电阻R₂消耗的电功率是多大？
（2）小球进入板间做匀速圆周运动，并与金属板相碰，碰时速度与初速度的夹角为60°，作出小球在磁场中的运动轨迹，求出运动半径，并计算此时对应的 R_x值．

Answer 1

分析 （1）由电路图可知，R₁与R₂并联后与滑动变阻器串联，由串并联电路的性质可得出总电阻，由闭合电路欧姆定律可得电路中的电流及R₂两端的电压，由功率公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可求得R₂消耗的电功率；
（2）粒子做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡；由牛顿第二定律可知洛仑兹力充当向心力；由几何关系可求得粒子运动的半径，联立可解得电容器两端的电压；由闭合电路欧姆定律可求得滑动变阻器的阻值．

解答 解：（1）闭合电路的外电阻为$R={R}_{x}+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}=（29+\frac{30×60}{30+60}）=49Ω$①
根据闭合电路的欧姆定律$I=\frac{E}{R+{r}_{0}}=\frac{15}{49+1}=0.3A$②
R₂两端的电压为U=E-I（r+R_x）=（15-0.3×30）V=6V     ③
R₂消耗的功率为${P}_{2}=\frac{{{U}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}=\frac{36}{60}=0.6W$④
（2）小球进入电磁场做匀速圆周运动，则重力和电场力等大反向，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，得
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$⑤
$\frac{{U′}_{2}}{d}q=mg$⑥
联立⑤⑥化简得$U{′}_{2}=\frac{BRdg}{v}$
小球做匀速圆周运动的初末速的夹角等于圆心角为60°，运动轨迹如图所示：


根据几何关系得
R=d           ⑧
联立⑦⑧并代入数据$U{′}_{2}=\frac{B{d}^{2}g}{v}$=4V，
干路电流为$I′=\frac{U{′}_{2}}{{R}_{1}}+\frac{U{′}_{2}}{{R}_{2}}=\frac{4}{30}+\frac{4}{60}=0.2A$ ⑨
则滑动变阻器的电阻R_X=$\frac{{E}_{0}-U{′}_{2}}{I′}-r=\frac{15-4}{0.2}-1=54Ω$；
要使小球进入板间做匀速度圆周运动并与板相碰，碰时速度与初速度的夹角为60°，R_x应为54Ω．
答：（1）当R_x=29Ω时，电阻R₂消耗的电功率是0.6W；
（2）小球在磁场中的运动轨迹如图所示，运动半径为d，此时对应的 R_x值为54Ω．

点评 本题为带电粒子在复合场中的运动与闭合电路欧姆定律的综合性题目，解题的关键在于明确带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，所受到的电场力一定与重力大小时相等方向相反，同时要注意几何关系的应用．