Question

一项人体飞镖项目，简化模型如图所示．某次运动中，手握飞镖的小孩用不可伸长的细绳系于天花板下，在A处被其父亲沿垂直细绳方向推出，摆至最低处B时小孩松手，飞镖依靠惯性飞出击中竖直放置的圆形靶最低点D点，圆形靶的最高点C与B在同一高度，C、O、D在一条直径上，A、B、C三处在同一竖直平面内，且BC与圆形靶平面垂直．已知飞镖质量m=1kg，BC距离s=8m，靶的半径R=2m，AB高度差h=0.8m，g取10m/s²．不计空气阻力，小孩和飞镖均可视为质点．
（1）求孩子在A处被推出时初速度v₀的大小；
（2）若小孩摆至最低处B点时沿BC方向用力推出飞镖，飞镖刚好能击中靶心，求在B处小孩对飞镖做的功W；
（3）在第（2）小题中，如果飞镖脱手时沿BC方向速度不变，但由于小孩手臂的水平抖动使其获得了一个垂直于BC的水平速度v，要让飞镖能够击中圆形靶，求v的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据平抛运动的规律，结合水平位移和竖直位移求出平抛运动的初速度，对A到B段运用动能定理，求出孩子在A处被推出时初速度v₀的大小．
（2）根据平抛运动的规律，结合水平位移和竖直位移求出飞镖平抛运动的初速度，结合飞镖抛出前的速度，根据动能定理求出在B处小孩对飞镖做的功．
（3）抓住平抛运动的时间不变，根据等时性，结合水平方向上垂直BC方向上的位移求出v的取值范围．

解答：解：（1）设飞镖从B平抛运动到D的时间为t₁，从B点抛出的初速度为v₁，小孩和飞镖的总质量为M，则有：
s=v₁t₁，2R=

1

2

gt12，
由动能定理得，Mgh=

1

2

Mv12-

1

2

Mv02，
解得v0=

s2g 4R -2gh

，
代入数据解得v₀=8m/s．
（2）设推出飞镖从B平抛运动到O的时间为t₂，从B点抛出的初速度为v₂，则有：
s=v₂t₂，R=

1

2

gt22，
W=

1

2

m(v22-v12)=

mgs2

8R

，
代入数据解得W=80J．
（3）因BC方向的速度不变，则从B到靶的时间为t₂不变，竖直方向的位移也仍为R，则靶上的击中点一定是与靶心O在同一高度上，
则垂直于BC的水平位移一定小于等于R，因此有：
R≥vt₂，R=

1

2

gt22，
联立两式解得v≤

gR 2

，
代入数据解得v≤

10

m/s．
答：（1）孩子在A处被推出时初速度为8m/s．（2）在B处小孩对飞镖做的功为80J．（3）v的取值范围为v≤

10

m/s．

点评：本题考查了动能定理和平抛运动的综合，关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合动能定理进行求解．