题目内容
2．如图所示，在足够大的空间中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里．在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的等边三角形框架DEF，DE中点S处有一粒子发射源，发射粒子的方向在纸面内且垂直于DE边向下，如图所示，所发射粒子的带电量为+q，质量为m，但速度v有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失，且每一次碰撞时速度方向都垂直于被碰的边，试求：（1）带电粒子的速度v为多大时，能够打到E点？
（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v应为多大？最短时间为多少？
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图（b）所示（图中圆为其横截面），圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L，要使S点发出的粒子最终又回到S点，带电粒子速度v的大小应取哪些数值？
分析 （1）根据粒子在磁场中运动的半径公式，结合几何关系得出半径与SE的关系，从而求出粒子的速度；
（2）粒子在磁场中运动的周期与速度无关，当粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动时间最短，可知当粒子在磁场中运动的轨道半径等于$\frac{L}{2}$时，运动的时间最短，结合圆心角求出运动的最短时间，结合半径公式求出速度的大小；
（3）S点发出的粒子最终又回到S点必须满足（2）的条件．要求此粒子每次与△DEF的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点；粒子能绕过顶点与△DEF的边相碰，根据半径公式和几何关系求出粒子的速度．
解答 
解：（1）根据洛伦兹力提供向心力得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
根据几何关系有：$\frac{L}{2}$L=n×2R （n=1，2，3…）
解得：$v=\frac{qvB}{4nm}$（n=1，2，3…）；
（2）依题意粒子做圆周运动的轨道半径，$R=\frac{L}{2}×\frac{1}{2n-1}$（n=1，2，3…）
在磁场中粒子做圆周运动的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，与粒子速度无关
由粒子运动时间$t=\frac{θ}{2π}T$得，粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动的时间最短
此时n取1，$R=\frac{L}{2}=\frac{mv}{qB}$
解得：$v=\frac{qBL}{2m}$
粒子以三角形的三个顶点为圆心运动，相邻两次碰撞的时间间隔为$t=\frac{5T}{6}$
第三次碰撞回到S点，则最短时间为${t}_{min}=3t=\frac{5}{2}T=\frac{5πm}{qB}$；
（3）要求此粒子每次与△DEF的三条边碰撞时都与边垂直，
且能回到S点，则R和v应满足以下条件：由于碰撞时速度v与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于△DEF的边上，
粒子绕过△DEF顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上
粒子从S点开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为R的半圆，
在SE边上最后一次的碰撞点与E点的距离应为R，所以SE的长度应是R的奇数倍
即SE=0.6a=（2n+1）R n=0、1、2、3…
由几何关系得：$OE=0.4\sqrt{3}a$
延长OE至圆形区域交于M，EM=a-OE=0.3a
若使粒子不射出磁场，有R≤0.3a
联立解得：n≥0.5，即n=1，2，3，4，5，6…，
解得v=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{50}）qBL}{（2n+1）m}$，n=1，2，3，4，5，6，
答：（1）带电粒子的速度$v=\frac{qvB}{4nm}$（n=1，2，3…）时，能够打到E点；
（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v应为$v=\frac{qBL}{2m}$，最短时间为$\frac{5πm}{qB}$；
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图（b）所示（图中圆为其横截面），圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且a=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{10}$）L，要使S点发出的粒子最终又回到S点，带电粒子速度v的大小应取v=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{50}）qBL}{（2n+1）m}$，n=1，2，3，4，5，6…
点评 解决本题的关键得出粒子在磁场中运动的半径通项表达式，确定半径为何值时恰好打在E点，何时能够回到S点，结合半径公式和周期公式进行求解．注意结合几何特性及半径与长度的关系，从而确定运动轨迹，这是解题的关键．
名校课堂系列答案| A． | 有弹力必有摩擦力 | |
| B． | 有摩擦力必有弹力 | |
| C． | 摩擦力的大小正比于弹力的大小 | |
| D． | 弹力方向与摩擦力方向一定互相垂直 |
| A． | 大小为a1-a2 | B． | 大小为$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}$ | ||
| C． | 方向为东偏北arctan $\frac{a_2}{a_1}$ | D． | 方向为与较大的力同向 |
| A． | 库仑在探究点电荷问相互作用力大小时，采用了控制变量法 | |
| B． | 库仑在探究点电荷问相互作用力大小时，采用了等效替代法 | |
| C． | 在探究平行板电容器的电容与哪些因素有关时，采用了控制变量法 | |
| D． | 在探究平行板电容器的电容与哪些因素有关时，采用了理想模型法 | |
| E． | 用比值法定义的物理概念在物理学中占有相当大的比例，例如场强E=$\frac{F}{q}$，电容C=$\frac{Q}{U}$，电阻R=$\frac{U}{I}$都是采用比值法定义的 |