Question

9．如图所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与小孔的距离r=0.2m，已知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线匀速转动，并使m处于静止状态，试求角速度ω的范围．

Answer 1

分析 当此平面绕中心轴线以角速度ω转动时，若M恰好要向里滑动时，ω取得最小值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑动时，ω取得最大值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力．根据牛顿第二定律分别求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范围．

解答 解：设此平面角速度ω的最小值为ω₁，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，则由牛顿第二定律得
   T-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
又T=mg
联立得 mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
将m=0.3kg，f_max=2N，M=0.6kg，r=0.2m代入解得ω₁=$\frac{\sqrt{3}}{0.6}$rad/s
设此平面角速度ω的最大值为ω₂，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，则由牛顿第二定律得
  T+f_max=M${ω}_{2}^{2}L$，
又T=mg
代入解得ω₂=$\frac{\sqrt{15}}{0.6}$rad/s
故为使m处于静止状态，角速度ω的范围为：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$．
答：为使m处于静止状态，角速度ω的范围为：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$

点评 本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解角速度的取值范围．