题目内容

如图所示，水平放置的光滑金属框abcd单位长度电阻为r，bc=L，ab=cd=2L．长度为L的导体杆MN放在金属框上，并以匀速v从最左端向右平动．导体杆MN单位长度电阻值为2r．整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面（abcd平面）向里．求：
（1）当导体杆MN的位移s1=
L2
时，MN两端的电压多大？
（2）在上述位置外力F的大小是多少？
（3）当导体杆MN的位移s2为多大时金属框上消耗的电功率最大？最大功率为多少？
分析：（1）求出感应电动势的大小，以及内阻和外阻的大小，根据欧姆定律求出MN两端的电压大小．
（2）根据欧姆定律求出感应电流的大小，通过安培力的公式求出导体杆所受安培力大小，抓住外力F与安培力相等求出外力F的大小．
（3）结合闭合电路欧姆定律和功率的公式求出金属框上消耗的电功率，通过数学求极值的方法求出功率的最大值，并求出此时导体杆MN的位移．
解答：解：（1）导体棒MN运动时产生的感应电动势为ε=BLv①
导体棒MN的电阻为rMN=2Lr②
当导体杆MN的位移s1=
L
2
时，导体杆右侧金属框的电阻为

R=4Lr③
此时MN两端的电压为UMN=
R
R+rMN
ε=
2
3
BLv④
（2）在上述位置时感应电流大小为I=
ε
R+rMN
=
BLv
6Lr
=
Bv
6r
⑤
安培力大小FA=BIL=
B2Lv
6r
⑥
由于导体杆做匀速运动，外力F等于安培力，即F=FA=
B2Lv
6r
⑦
（3）金属框上消耗的电功率为P=(
ε
R+rMN
)2R=
B2L2v2R
R2+4RLr+4L2r2
=
B2L2v2
R+4Lr+
4L2r2
R
⑧
当R=
4L2r2
R
，即R=2Lr时，P最大．
此时有R=（5L-S2）r=2Lr⑨
可得s2=
3
2
L
此时最大功率为Pm=
B2L2v2
8Lr
=
B2Lv2
8r
．
答：（1）当导体杆MN的位移s1=
L
2
时，MN两端的电压为
2
3
BLv．
（2）在上述位置外力F的大小是
B2Lv
6r
．
（3）当导体杆MN的位移为
3
2
L时金属框上消耗的电功率最大，最大功率为
B2Lv2
8r
．
点评：本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，安培力是联系力与电磁感应的桥梁．第三问对数学能力的要求较高，运用不等式求极值的方法进行分析．
练习册系列答案
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BS
BS
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0
0
．
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