Question

3．如图所示，关于y轴对称、电阻不计且足够长的光滑导轨固定于水平面内，导轨的轨道方程为y=kx²（k为已知常量）．导轨所在区域内存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一质量为m的长直导体棒平行于x轴方向置于导轨上，在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度大小为a的匀加速直线运动．运动过程中导体棒与x轴始终平行．导体棒单位长度的电阻为ρ，其与导轨接触良好．求：
（1）导体棒在运动过程中受到的外力F随y的变化关系；
（2）导体棒在运动过程中产生的电功率P随y的变化关系；
（3）导体棒从y=0运动到y=L过程中外力F做的功W．

Answer 1

分析 （1）根据运动学公式求解竖直分位移，结合导轨的轨道方程得到导体棒连入电路的长度，得到电阻，结合切割公式求解感应电动势，根据欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式得到安培力，根据平衡条件得到拉力；
（2）导体棒匀速运动，克服安培力做功的功率等于回路产生电功率；
（3）由于安培力与位移y成正比，结合图象法得到克服安培力做功的大小．

解答 解：（1）设导体棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为（±x，y），此时导体棒的速度大小为v，则由匀变速直线运动的规律，有：v²=2ay，
此时导体棒上产生的感应电动势为：E=2Bvx，
导体棒上通过的电流为：I=$\frac{E}{R}$，其中R=2ρx，
结合y=kx²解得：F_安=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$，
由牛顿第二定律，有：F-F_安=ma，
解得：F=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$+ma；
（2）由功率公式，有：P=F_安v，
解得：P=$\frac{4a{B}^{2}y\sqrt{ky}}{kρ}$；
（3）从安培力大小的表达式F_安=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$可知，安培力大小与导体棒的位移大小y成正比，作出安培力随着位移y的变化图象如图所示：

由图象结合力力做功的定义可知导体棒从y=0到纵坐标为y处的过程中克服安培力做的功为：W_安=$\frac{{F}_{安}}{2}•y$，
将y=L代入可得，导体棒从y=0运动到y=L过程中克服安培力做功为：
W_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}$
设导体棒运动到y=L时的速度大小为v₁，由动能定理，有：
W-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
上式中：${v}_{1}^{2}=2aL$，
解得：W=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}+maL$；
答：（1）导体棒在运动过程中受到的外力F随y的变化关系为F=$\frac{2{B}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}y$+ma；
（2）导体棒在运动过程中产生的电功率P随y的变化关系为P=$\frac{4a{B}^{2}y\sqrt{ky}}{kρ}$；
（3）导体棒从y=0运动到y=L过程中外力F做的功W为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ak}}{kρ}+maL$．

点评 本题是滑轨问题，关键是明确导体棒的受力情况，结合切割公式、欧姆定律公式、安培力公式和运动学公式列式求解，第三问注意推导出安培力的表达式进行分析．