Question

8．某电视娱乐节目装置可简化为如图所示模型．倾角θ=37°的斜面底端与水平传送带平滑接触，传送带BC长L=6m，始终以v₀=6m/s的速度顺时针运动．将一个质量m=1kg的物块由距斜面底端高度h₁=5.4m的A点静止滑下，物块通过B点时速度的大小不变．物块与斜面、物块与传送带间动摩擦因数分别为μ₁=0.5、μ₂=0.2，传送带上表面距地面的高度H=5m，g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）求物块由A点运动到C点的时间；
（2）若把物块从距斜面底端高度h₂=2.4m处静止释放，求物块落地点到C点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在斜面上的加速度，结合位移时间公式求出物块从A点运动到B点的时间，物块滑上传送带时，由于速度与传送带速度相等，将做匀速直线运动，结合位移和速度求出匀速运动的时间，从而得出物块由A点运动到C点的时间．
（2）根据动能定理求出物块滑动斜面底端的速度，物块滑上传送带先加速，当速度达到传送带速度后做匀速运动，结合平抛运动的规律求出水平距离．

解答 解：（1）A到B过程：根据牛顿第二定律
    mgsin θ-μ₁mgcos θ=ma₁      
由运动学公式有 $\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$a₁t₁²
代入数据解得  a₁=2 m/s²，t₁=3 s
所以滑到B点的速度：v_B=a₁t₁=2×3 m/s=6 m/s
由于v_B=v₀=6m/s，所以物块在传送带上做匀速运动，所用时间 t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{6}$s=1 s 
所以物块由A到B的时间：t=t₁+t₂=3 s+1 s=4 s  
（2）在斜面上根据动能定理：mgh₂-μ₁mgcosθ
又 $\frac{{h}_{2}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得 v=4 m/s＜6 m/s 
设物块在传送带先做匀加速运动到v₀，运动位移为x，则：
  a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2 m/s²
根据v₀²-v²=2a₂x得 x=5m＜6m   
所以物体先做匀加速直线运动后和皮带一起匀速运动，离开C点做平抛运动
  s=v₀t₀，
  H=$\frac{1}{2}$gt₀²
联立解得 s=6 m
答：
（1）物块由A点运动到C点的时间为4s；
（2）物块落地点到C点的水平距离为6m．

点评 本题的关键理清物体的运动规律，分段运用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式结合进行研究．