Question

9．已知某半径为r₀的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道的半径为r，卫星运行的周期为T．假设在该天体表面沿竖直方向以初速度v₀向上抛出一个物体，不计阻力，求它可以到达的最大高度h是多少？（　　）

• A． $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}（r-{r}_{0}）^{2}}{4{π}^{2}{r}^{3}}$
• B． $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}（r-{r}_{0}）^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$
• C． $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{3}}$
• D． $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$

Answer 1

分析 结合万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出该星表面的重力加速度．根据竖直上抛运动的位移公式即可求出．

解答 解：由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，$\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$=mg′，所以$g′=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{r}_{0}^{2}}$
在该天体表面沿竖直方向以初速度v₀向上抛出一个物体，不计阻力，物体上升的过程中的机械能守恒，得：$mg′h=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
它可以到达的最大高度h是：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$
故选：D

点评 该题考查万有引力定律的一般应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．