某行星探测器在喷气发动机推力作用下从所探测的行星表面以加速度a匀加速竖直升空.当其速度达到v时.发动机突然发生故障而关闭．已知该行星的半径为R.该行行星表面附近物体自由下落加速度为g.探测器总质量的变化.行星对探测器的引力随高度的变化.行星自转的影响.行星表面的气体对探测器的影响都忽略不计．求:(1)贴着该行星表面沿圆轨道飞行的卫星的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．某行星探测器在喷气发动机推力作用下从所探测的行星表面以加速度a匀加速竖直升空，当其速度达到v时，发动机突然发生故障而关闭．已知该行星的半径为R，该行行星表面附近物体自由下落加速度为g，探测器总质量的变化、行星对探测器的引力随高度的变化、行星自转的影响、行星表面的气体对探测器的影响都忽略不计．求：
（1）贴着该行星表面沿圆轨道飞行的卫星的速度大小；
（2）探测器上升的最大高度．

分析（1）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力，联立求出贴着行星表面做圆周运动的速度．
（2）根据速度位移公式求出匀加速上升的位移，结合速度位移公式求出匀减速运动的位移，从而得出上升的最大高度．

解答解：（1）设行星的质量为M，卫星的质量为m，卫星的速度为v，根据牛顿第二定律
G$\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
在行星表面的重力等于万有引力，$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
联立解得：v=$\sqrt{Rg}$
（2）设探测器发动机工作时上升的高度为h₁，关闭发动机后上升的高度为h₂，上升的总高度为h．根据运动学公式
v²=2ah₁，v²=2gh₂
解得：$h={h_1}+{h_2}=\frac{v^2}{2}（\frac{1}{a}+\frac{1}{g}）$．
答：（1）贴着该行星表面沿圆轨道飞行的卫星的速度大小为$\sqrt{Rg}$；
（2）探测器上升的最大高度为$\frac{{v}^{2}}{2}（\frac{1}{a}+\frac{1}{g}）$．

点评解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论，以及知道探测器在整个过程中的运动规律，结合运动学公式灵活求解．

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