Question

如图所示，长度为三的轻绳一端固定在天花板上，另一端连一个质量为m的小球，在距悬点高度差为h=

1

2

L的光滑水平面内做匀速圆周运动，试求下列情况下绳子拉力的大小
（1）小球速度为v1=

gL

（2）小球速度为v2=

2gL

．

Answer 1

分析：小球在水平面内绕O点作匀速圆周运动，由绳子拉力的水平分力提供向心力，由平行四边形定则，作出重力与拉力的合力，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力．

解答：解：（1）当小球的速度为为v1=

gL

时，设绳子拉力大小为T₁，水平面的支持力为N₁，则根据牛顿第二定律得
      T₁sinα+N₁=mg  ①
      T₁cosα=m

v 2 1

r

  ②
又r=

L2-h2

=

3

2

L，cosα=

3

2

代入解得，T₁=

4

3

mg，N₁=

1

3

mg
（2）由①②得，当N₁=0时，v₁=

1.5gL

，故当小球速度为v2=

2gL

时，小球离开水平面做匀速圆周运动，此时由重力与绳子拉力的合力提供向心力，受力如图，由平行四边形定则得：
   mg=T₂cosθ
   T₂sinθ=m

v 2 2

r′

又r′=Lsinθ
联立以上三式解得，T₂=（1+2

2

）mg
答：（1）小球速度为v1=

gL

时绳子的拉力大小为

4

3

mg；
（2）小球速度为v2=

2gL

时绳子的拉力大小为（1+2

2

）mg．

点评：本题关键要分析得出速度为v2=

2gL

时小球已离开水平面，挖掘隐含的临界状态．