Question

已知万有引力常量G，地球的半径R，地球表面重力加速度g和地球自转周期T．不考虑地球自转对重力的影响，求：
（1）地球的质量和密度；
（2）地球同步卫星的高度；
（3）第一宇宙速度．

Answer 1

分析：根据已知量，地球表面的物体受到的重力等于万有引力可求出地球的质量，再利用球体的体积公式、密度公式可求出地球的密度；地球的同步卫星、近地卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度、第一宇宙速度．

解答：解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，∴

GMm

R2

=mg，∴地球的质量M=

gR2

G

又地球的体积V=

4

3

πR3，密度公式ρ=

M

V

，联立得地球的密度：ρ=

3g

4πGR

．
（2）地球的同步卫星的万有引力提供向心力：

GMm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)，
代入地球的质量得卫星的高度：h=

3	gR2T2 4π2

-R．
（3）地球的近地卫星所受的万有引力提供向心力，∴G

Mm

R2

=m

v2

R

，
代入地球的质量得第一宇宙速度：v=

gR

．
答：（1）地球的质量为

gR2

G

，密度为

3g

4πGR

；
（2）地球同步卫星的高度为

3	gR2T2 4π2

-R；
（3）第一宇宙速度为

gR

．

点评：解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．