题目内容

(2005?广东)已知万有引力常量G,地球半径R,月球与地球间距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球自转周期
T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:
同步卫星绕地心做圆周运动,由G
Mm
h2
=m(
T2
)2h
M=
4π2h3
G
T
2
2

(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法,并解得结果.
分析:(1)根据万有引力提供向心力,列式求解,地球半径较大,不能忽略;
(2)对月球或地球应用万有引力提供向心力,也可根据在地球表面重力等于向心力求解.
解答:解:(1)上面结果是错误的,地球的半径R在计算过程中不能忽略,正确解法和结果:
G
mM
(R+h)2
=m(
T 
)
2
(R+h)

得    M=
4π2(R+h)3
G
T
2
2

(2)方法一:月球绕地球做圆周运动,
G
Mm
r
2
 
=mr(
T1
)2
M=
4π2r3
G
T
2
1

方法二:同步卫星绕地球做圆周运动,
G
mM
(R+h)2
=m(
T 
)
2
(R+h)

M=
4π2(R+h)3
G
T
2
2

方法三:在地面重力近似等于万有引力,
G
Mm
R
2
 
=mg

得  M=
gR2
G
点评:本题关键抓住万有引力提供向心力或在地球表面重力等于万有引力.
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