Question

如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下．一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′．球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜

π

2

)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率．重力加速度为g．

Answer 1

据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′．P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：f=qvB…①
式中v为小球运动的速率．洛仑兹力f的方向指向O′．根据牛顿第二定律：Ncosθ-mg=0…②
f-Nsinθ=m

v2

Rsinθ

…③
由①②③式得：v2-

qBRsinθ

m

v+

qRsin2θ

cosθ

=0…④
由于v是实数，必须满足：△=(

qBRsinθ

m

)2-

4gRsin2θ

cosθ

≥0…⑤
由此得：B≥

2m

q

g Rcosθ

…⑥
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为：Bmin=

2m

q

g Rcosθ

…⑦
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：v=

qBminRsinθ

2m

…⑧
由⑦⑧式得：v=

gR cosθ

sinθ…⑨
答：磁感应强度大小的最小值

2m

q

g Rcosθ

，小球P相应的速率

gR cosθ

sinθ．