Question

如图所示，ABC为一透明材料做成的柱形光学元件的横截面，该种材料折射率n=2，AC为一半径为R的

1

4

圆弧，D为圆弧面圆心，ABCD构成正方形，在D处有一点光源．若只考虑首次从圆弧AC直接射向AB、BC的光线，从点光源射入圆弧AC的光中，有一部分不能从AB、BC面直接射出，求这部分光照射圆弧AC的弧长．

Answer 1

分析：从点光源射入圆弧AC的光中，有一部分不能从AB、BC面直接射出，是由于在AB和BC面上发全了全反射，先根据折射率，由公式sinC=

1

n

求出临界角，由几何知识求出这部分光照射圆弧AC的弧长．

解答：解：设该种材料临界角为C，则
  sinC=

1

n

   ①
解得：C=30° ②
如图所示，若沿DE方向射到AB面上的光线刚好发生全反射，则：∠ADF=30°  ③
同理，若沿DG方向射入的光线恰好在BC面上发生全反射，可得：∠CDG=30°  ④
因此：∠FDH=30° ⑤
据几何关系可得：

.

FH

=

1

12

×2πR  ⑥
解得：

.

FH

=

1

6

πR  ⑦
答：这部分光照射圆弧AC的弧长为

1

6

πR．

点评：解决本题关键是掌握全反射的条件和临界角公式sinC=

1

n

，结合几何知识进行求解．