Question

15．我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统，在甘肃玉树的抗震救灾中发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则以下判断中正确的是（　　）

• A． 卫星1向后喷气加速，一定能追上卫星2
• B． 这两颗卫星的加速度大小相等，均为$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$
• C． 卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做正功

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力和地球表面重力与万有引力相等求解出卫星轨道处的加速度及卫星运动的周期．

解答 解：A、卫星1向后喷气，卫星做加速运动，在轨道上做圆周运动所需向心力增加，而提供向心力的万有引力没有发生变化，故卫星将做离心运动，卫星轨道变大，故卫星不能追上同轨道运行的卫星2，故A错误；
B、在地球表面重力与万有引力大小相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²，又卫星在轨道上运动万有引力提供圆周运动的加速度，故有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$可得卫星的加速度
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，故B正确；
C、万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得卫星运行周期为：T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，所以卫星从位置1到位置2所需时间t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C正确．
D、卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中，万有引力提供圆周运动的向心力，故从位置1运动到位置2的过程中，万有引力始终指向圆心与卫星运动的速度方向垂直，故此过程中万有引力对卫星不做功，故D错误；
故选：BC．

点评 万有引力引用主要入手点：一是万有引力提供圆周运动向心力，二是在星球表面重力与万有引力相等．注意向心力公式的不同表达式是正确解题的关键．