Question

5．如图所示，在水平面内有两根间距为L=1m的足够长的平行金属导轨ab，cd，在a，c之间用导线连接一阻值为R=3Ω的电阻，放在金属导轨ab，cd上的金属杆质量为m=0.5kg，电阻r=1Ω，与导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，金属杆的中点系一绝缘轻细绳，细绳的另一端通过光滑的定滑轮悬挂一质量为M=1.0kg的重物，磁感应强度为B=2T的匀强磁场与导轨平面垂直，金属杆运动过程中与导轨接触良好，g取10m/s²
（1）将重物由静止释放，重物将开始做加速运动，若某时刻金属杆的加速度大小为a=2m/s²，求此时金属杆运动的速度大小v；
（2）重物最终将匀速下降，若M从静止到匀速的过程中下降的高度为h=8m，则在此过程中电阻R上产生的焦耳热是多少？

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力与速度的关系式，由牛顿第二定律列式求出速度．
（2）由能量守恒定律求出R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）金属杆的速度为v时受到的安培力为：
 F=BIL=B$\frac{BLv}{R+r}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
由牛顿第二定律得：
对M有：Mg-T=Ma
对金属杆有：T-F-μmg=ma
联立解得：v=$\frac{[Mg-（M+m）a-μmg]（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{[10-1.5×2-0.4×5]×（3+1）}{{2}^{2}×{1}^{2}}$=5m/s
（2）重物匀速下降的过程中，根据能量守恒得：
  Mgh=Q+μmgh
可得 Q=Mgh-μmgh=10×8-0.4×0.5×10=78J
故在此过程中电阻R上产生的焦耳热是 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3}{3+1}$×78J=58.5J
答：
（1）此时金属杆运动的速度大小v是5m/s．
（2）在此过程中电阻R上产生的焦耳热是58.5J．

点评 该题为电磁感应与动力学综合的问题，解决本题的关键推导安培力与速度的表达式，运用隔离法研究．