Question

3．如图所示，在竖直平面内，半径为R的四分之一圆弧轨道AB，水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，圆弧轨道的半径OB和BC垂直，水平轨道BC的长度大于$\frac{1}{2}$πR，斜面足够长，在圆弧轨道上静止着N个质量为m，半径为r（r＜＜R）的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3…N．现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，若以BC所在的平面为重力势能的零势面．下列说法正确的是 （　　）

• A． 第N个小球在斜面CD上向上运动时机械能减小
• B． 第N个小球在斜面CD上向上运动时机械能增大
• C． N个小球构成的系统在运动过程中机械能守恒，且总机械能E=$\frac{1}{2}$NmgR
• D． 第1个小球到达最低点的速度的大小v＜$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 N个小球在BC和CD上运动过程中，相邻两个小球始终相互挤压，把N个小球看成整体，则小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，弧AB的长度等于小球全部到斜面上的长度，而在圆弧上的重心位置比在斜面上的重心位置可能高也可能低，所以第N个小球在斜面上能达到的最大高度可能比R小，也可能比R大，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律即可求解第一个小球到达最低点的速度．

解答 解：C、把N个小球看成整体，则小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，由于重心低于$\frac{R}{2}$，故总机械能小于E=$\frac{1}{2}$NmgR；故C错误；
AB、在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压；故第N个小球受其他小球的压力做功，机械能增加；故A错误，B正确；
D、小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mg•$\frac{R}{2}$
解得：
v=$\sqrt{gR}$
而第一个球在下滑过程中，始终受到第二个球对它的压力，所以第1个小球到达最低点的速度v′＜$\sqrt{gR}$，故D正确．
故选：BD

点评 本题主要考查了机械能守恒定律的应用，要求同学们能正确分析小球得受力情况，能把N个小球看成一个整体处理，难度适中．