Question

宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；
（3）求星体做匀速圆周运动的周期．

Answer 1

分析：（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径等于正方形对角线的一半．
（2）根据万有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，求出星体表面的重力加速度．
（3）在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据F合=mr(

2π

T

)2，求出星体匀速圆周运动的周期．

解答：解：（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
   r=

2

2

a
（2）由万有引力的定律可知
  G

mm′

R2

=m′g
则星体表面的重力加速度
  g=G

m

R2

（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m?

2

2

a

4π2

T2

解得周期T=2πa

(4- 2 )a 7Gm

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力等于重力G

mm′

R2

=m′g，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．