题目内容

宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）求星体做匀速圆周运动的周期．
（2）若假设能在其中某一个星上做这么一个实验：站在h高处以v速度将一个物体水平抛出，测得落地点离抛出点水平位移为s，则该星半径R=？
分析：（1）由星体的分布可以得到星体圆周运动的半径，在由万有引力充当向心力的周期表达式可以得到周期
（2）由平抛可以得到星体表面的重力加速度，在由万有引力等于重力，可以解得星球半径
解答：解：
（1）
由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径 r=
2
2
a 
由万有引力定律和向心力公式得：
G
m2
(
2
a)2
+2G
m2
a2
cos45°=m
2
2
a
4π2
T2

解得：
T=2πa
2
a
(2
2
+1)Gm
）
（2）
由万有引力的定律可知：G
mm′
R2
=m′g′
则星体表面的重力加速度：g′=G
m
R2

由平抛规律：
s=vt
h=
1
2
g/t2

得：
g/=
2h
t2
=
2hv2
s2
=G
m
R2

解得：
R=
s
v
Gm
2h

答：
（1）星体做匀速圆周运动的周期T=2πa
2
a
(2
2
+1)Gm

（2）该星半径R=
s
v
Gm
2h
点评：本题两个重点，一是对每个星球受力的表达，二是由利用要平抛规律求表面重力加速度．
练习册系列答案
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宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法错误的是（忽略星体自转）（　　）
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；
（3）求星体做匀速圆周运动的周期．
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法正确的是（　　）
A、四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B、四颗星的轨道半径均为
a
2
C、四颗星表面的重力加速度均为G
m
R2
D、四颗星的周期均为
2πa
2a
(4+
2
)Gm
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，则各星体做匀速圆周运动的轨道半径
 
，星体做匀速圆周运动的周期
 
，若实验观测得到星体的半径为R，则星体表面的重力加速度
 
．

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