Question

10．随着生活水平的提高，生活节奏的加快，道路上各种车辆越来越多，那么不文明驾车也日益增多．其中疲劳驾驶就是一种，疲劳后继续驾驶车辆，会注意力不集中，判断能力下降，甚至出现精神恍惚或瞬间记忆消失，出现动作迟误或过早，操作停顿或修正时间不当等不安全因素，极易发生道路交通事故，因此，疲劳后严禁驾驶车辆．可是交管部门屡禁不止．一辆货车甲在在公路上以速度v_甲=20m/s匀速，因甲车司机长时间驾驶导致疲劳精神不集中，某时刻突然发现在距正前方x₀=40m处，同一车道上有一同向行驶的乙车在以速度为v_乙=10m/s匀速，这时甲车立即刹车，但要经过200m 甲车才能停止．问：
（1）若乙车按上述的措施前进，试通过计算分析两车是否会相撞；
（2）若甲车在刹车的同时发出信号，乙车司机在收到信号反应1s后以2m/s²的加速度加速前进，则甲、乙是否会相撞？如果不相撞甲、乙间的最小距离为多少．（信号传递的时间忽略不计））

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出两车速度相等经历的时间，结合两者的位移大小，判断是否发生碰撞．
（2）根据速度时间公式求出速度相等的经历的时间，求出两者的位移，判断是否相撞，若不相撞，此时有最小距离．

解答 解：（1）甲车做匀减速运动的加速度大小${a}_{1}=\frac{{{v}_{甲}}^{2}}{2x}=\frac{400}{400}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
甲乙两车速度相等经历的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{甲}-{v}_{乙}}{{a}_{1}}=\frac{20-10}{1}s=10s$，
此时甲车的位移${x}_{甲}=\frac{{{v}_{甲}}^{2}-{{v}_{乙}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{400-100}{2}m=150m$，
乙车的位移x_乙=v_乙t₁=10×10m=100m，
因为x_甲＞x_乙+x₀，可知两车会发生相撞．
（2）设经过t时间两车速度相等，则有：v_甲-a₁t=v_乙+a₂t，
解得t=$\frac{{v}_{甲}-{v}_{乙}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{20-10}{1+2}s=\frac{10}{3}s$，
此时甲的位移${x}_{甲}′={v}_{甲}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=20×\frac{10}{3}$-$\frac{1}{2}×1×\frac{100}{9}$m=$\frac{550}{9}m$，
乙的位移${x}_{乙}′={v}_{乙}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=10×\frac{10}{3}+\frac{1}{2}×2×$$\frac{100}{9}$m=$\frac{400}{9}m$，
因为x_甲′＜x_乙′+x₀，可知两车不会相撞，
此时最近距离△x=x_乙′+x₀-x_甲′=$\frac{400}{9}+40-\frac{550}{9}m=\frac{70}{3}m$．
答：（1）两车会发生碰撞．
（2）两车不会碰撞，两车的最小距离为$\frac{70}{3}m$．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，对于速度大者减速追及速度小者，判断是否相撞即判断速度相等时是否相撞，若不相撞，速度相等时有最小距离．