Question

13．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3秒后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到．已知圆轨道半径为R=1m，小球的质量为m=1kg，g取10m/s²．求
（1）小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离
（2）小球经过圆弧轨道的B点时，受到轨道的作用力N_B的大小和方向？
（3）小球经过圆弧轨道的A点时的速率．

Answer 1

分析 （1）小球恰好垂直与倾角为45⁰的斜面相碰到，说明小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，代人公式即可；
（2）小球经过圆弧轨道的B点时，做圆周运动，所受轨道作用力与重力一起提供向心力．
（3）小球从A到B的过程中的机械能守恒，由此即可求出A点的速率．

解答 解：（1）根据平抛运动的规律和运动合成的可知：
$tan45°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
则小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，得：v_x=v_y=gt=3m/s，
则B点与C点的水平距离为：
x=v_xt=0.9m
（2）根据牛顿运动定律，在B点（设轨道对球的作用力方向向下）
${N}_{B}+mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N_B=-1N   负号表示轨道对球的作用力方向向上
（3）小球从A到B的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据得：v_A=7m/s
答：（1）小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9m；
（2）小球经过圆弧轨道的B点时，所受轨道作用力N_B的大小1N，方向竖直向上．
（3）小球经过圆弧轨道的A点时的速率是7m/s．

点评 该题考查竖直平面内的圆周运动与平抛运动，小球恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到是解题的关键，要正确理解它的含义．