Question

6．如图甲所示，空间内有垂直于纸面向里的有界匀强磁场，MN是磁场的上边界，磁场宽度足够大，磁感应强度B₀=1×10^-4T，现有一比荷为$\frac{q}{m}$=2×10¹¹C/kg的正离子以某一速度从P点射入磁场，已知P点到边界MN的垂直距离d=20cm，不计离子的重力．求：
（1）若要使离子不从MN边界射出磁场，求离子从P点水平向右射入的最大速度v_m；
（2）若离子以速度v=4×10⁶m/s在纸面内从P点沿某一方向射入磁场时，该离子在磁场中运动的时间最短，求此时离子射出时的速度与边界MN的夹角；
（3）若离子射入的速度满足第（1）问的条件，同时在该磁场区域再加一个如图乙所示的变化磁场（正方向与B₀方向相同，不考虑磁场变化所产生的电场），求该离子0时刻从P点射入到第二次回到P点所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）离子在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径可由几何关系求得，洛仑兹力提供向心力，根据向心力公式即可求得速度；
（2）由牛顿第二定律求出离子的轨道半径，然后求出速度方向与MN的夹角．
（3）先算出离子在磁场中运动第一次遇到外加磁场的过程中轨迹对应的圆心角，由几何关系求出此时施加附加磁场时离子在磁场中能做的圆周运动的最大半径，根据向心力公式求出离子在有附加磁场时运动半径，判断粒子是否能做完整的圆周运动，对照外加磁场的规律求出粒子做圆周运动的次数，最后求得总时间．

解答 解：（1）粒子刚好不从边界射出时的最大半径：r₁=$\frac{d}{2}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv_mB₀=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{1}}$，
代入数据解得：v_m=2×10⁶m/s；
（2）粒子做圆周运动的轨道半径：r₂=$\frac{mv}{qB}$，
代入数据解得：r₂=0.2m，
设时间最短时对应的圆心角为α，则：sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\frac{d}{2}}{{r}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
则得：α=60°或α=120°；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
代入数据解得：T₁=π×10^-7s，
施加附加磁场后，粒子在复合场中做圆周运动的半径与周期都变小，
周期：T₂=$\frac{2πm}{q（{B}_{0}+B）}$，
代入数据解得：T₂=$\frac{π}{6}$×10^-7s，
即离子刚好能运动一个完整的圆周，接下来在B₀磁场中运动，
粒子在没有附加磁场的大圆每段轨迹对应的圆心角：θ=$\frac{\frac{π}{6}×1{0}^{-7}}{π×1{0}^{-7}}$×2π=$\frac{π}{3}$，
由外加磁场规律可知，每隔$\frac{π}{6}$×10^-7s离子在周期性外加磁场
时做半径更小的圆周运动，离子可做完6次完整的匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，
最后离子经过P点，离子从P点射入磁场到第二次回到P点的时间：t=T₁+6T₂=2π×10^-7s．
答：（1）若要使离子不从MN边界射出磁场，求离子从P点水平向右射入的最大速度v_m为2×10⁶m/s；
（2）若离子以速度v=4×10⁶m/s在纸面内从P点沿某一方向射入磁场时，该离子在磁场中运动的时间最短，此时离子射出时的速度与边界MN的夹角为60°或120°；
（3）该离子0时刻从P点射入到第二次回到P点所经历的时间t为2π×10^-7s．

点评 该题主要考查了带电粒子在磁场中的运动．要求同学们能正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系求得轨道半径，能用向心力公式和周期公式解题，难度较大，属于难题．