Question

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s²的加速度开始行驶.恰在此时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边驶过汽车.试求：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少？

(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多大？

Answer 1

解析  汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度保持不变，开始汽车的速度小于自行车的速度，两车相距越来越远；只有当汽车的速度大于自行车的速度时，两车距离才会缩小.因此，两车速度相等时相距最远.

答案：(1)解法一：物理分析法

v_汽1=at₁=v_自

t₁= s=2 s

Δs=v_自t₁-at₁²=6×2 m-×3×2² m=6 m.

（2）当汽车的位移与自行车相等时，汽车追上自行车.

at₂²=v_自t₂

t₂=s=4 s

v_汽2=at₂=3×4 m/s=12 m/s.

解法二：图象法

(1)两车的速度图象如图3-1-5所示，由图可看出，在两车速度相等的t₁时刻，两车的位移（速度图线与x轴所围面积）之差达最大.

图3-1-5

t₁=s=2 s

Δs=v_自t₁-at₁²=6×2 m-×3×2² m=6 m.

(2)当两车的位移（速度图线与x轴所围面积）相等时，两车相遇.由图可知，t₂=2t₁=2×2 s=4 s

v_汽2=at₂=3×4 m/s=12 m/s

解法三：数学求极值法

(1)Δs=v_自t₁-at₁²=6t₁-×3t₁²=-(t₁-2)²+6

当t₁=2 s时，两车间距离最大为6 m.

(2)当汽车的位移与自行车相等时，汽车追上自行车.

at₂²=v_自t₂

t₂=s=4 s

v_汽2=at²=3×4 m/s=12 m/s.

解法四：相对运动法

(1)取汽车为参考系，自行车做初速度为6 m/s、加速度为-3 m/s²的匀减速运动.此时自行车位移最大时，两车相距最远.

s=v₀t₁+at₁²=6×t₁-t₁²=-(t₁-2)²+6

t₁=2 s时，位移s最大.

(2)两车相遇，即自行车的位移为零.

s=v₀t₂+at₂²=6×t₂-t₂²=0

t₂=4 s

v_汽2=at₂=3×4 m/s=12 m/s.