Question

11．如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又继续沿轨道运动并进入光滑的水平轨道CD，然后跃到水平轨道EF上（EF轨道足够长）．已知赛车在水平轨道AB部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5倍，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=20W工作，轨道AB的长度L=2m，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可忽略．D、E两点间的高度差为h=0.45m，水平距离是s=1.8m．某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道ABPCD、又能跃到EF轨道上．试求：

（1）赛车在P点处的最小速度；
（2）赛车电动机最短的工作时间．

Answer 1

分析 （1）根据重力提供向心力，结合牛顿第二定律求出赛车在P点处的最小速度．根据平抛运动的规律求出平抛运动的初速度，结合动能定理求出P点的最小速度，抓住赛车在运动过程中既不能脱离轨道ABPCD，又能跃到EF轨道上，得出P点处的最小速度．
（2）根据动能定理，结合P点的最小速度，求出电动机工作的最短时间．

解答 解：（1）赛车要越到EF轨道，根据h=$\frac{1}{2}$gt²得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$=0.3s．
则平抛运动的最小速度为：v₁=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.8}{0.3}$=6m/s．
根据动能定理得：mg•2R=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$
代入数据解得：v_p=4m/s．赛车要越过最高点，在最高点的最小速度为v_p′，
根据mg=m$\frac{{v}_{p}^{′2}}{R}$
得：v′_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s．
所以要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道ABPCD，又能跃到EF轨道上，在P点的最小速度为4m/s．
（2）设工作的最短时间为t，根据动能定理得：
Pt-0.5mgL-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$-0
代入数据解得：t=0.56s．
答：（1）赛车在P点处的最小速度为4m/s；
（2）赛车电动机最短的工作时间为0.56s．

点评 本题考查了动能定理与平抛运动和圆周运动的综合，综合性较强，知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．