Question

15．“嫦娥三号”探月卫星计划于2013年下半年在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v贴近月球表面匀速飞行，测出它的运行周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（　　）

• A． “嫦娥三号”探月卫星的轨道半径为$\frac{vT}{2π}$
• B． 月球表面的重力加速度约为$\frac{2πv}{T}$
• C． 月球的平均密度约为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． “嫦娥三号”探月卫星的质量约为$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出月球的质量，再根据万有引力等于重力得出月球表面的重力加速度，由线速度周期关系和密度公式分析即可．

解答 解：A、根据T=$\frac{2πR}{v}$可得探月卫星的轨道半径R=$\frac{vT}{2π}$，故A正确；
B、在月球表面重力与万有引力相等，故月球表面的重力加速度等于探月卫星的向心加速度即g=$R（\frac{2π}{T}）^{2}$=$\frac{vT}{2π}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=\frac{2πv}{T}$，故B正确；
C、探月卫星受到的万有引力提供其圆周运动运动的向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$可得月球质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，再根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故C正确．
D、由C分析知，根据万有引力提供圆周运动向心力可以求出中心天体月球的质量，不能求出环绕天体卫星的质量，故D错误．
故选：ABC．

点评 解决此类问题的主要入手点有二：一是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，二是万有引力与星球表面的重力相等．