Question

8．长为L不可伸长的轻绳，一端固定于O点，另一端系一个质量为m的小球，最初小球位于A点，细绳伸直并且水平，如图所示，然后将小球由静止释放，它将在竖直平面内摆动．若预先在该平面内Oˊ点处钉一只小钉，OOˊ与竖直方向的夹角为θ，细绳被小钉挡住后，小球将改变运动方向．为了使小球能绕Oˊ点在同一竖直平面内做圆周运动，OOˊ的距离d应满足什么条件？

Answer 1

分析 抓住小球做圆周运动过最高点有最小速度，由重力等于向心力求得最小速度，结合动能定理或机械能守恒定律求出OO′的长度d所允许的范围．

解答 解：设小球由A运动到B时的速度为v₁，在以为圆心的圆轨道最低点C、最高点D的速度分别为v₂和v₃，圆轨道的半径为R．
由机械能守衡定律得：
从A到B的过程有：$mgLcosθ=\frac{1}{2}mv_1^2$
从B到C的过程有：$\frac{1}{2}mv_1^2+mgR（1-cos?）=\frac{1}{2}mv_2^2$
从C到D的过程有：$\frac{1}{2}mv_3^2+2mgR=\frac{1}{2}mv_2^2$
若小球恰能通过最高点D，则有：$mg=m\frac{v_3^2}{R}$
以上各式联立求解得  $R=\frac{2Lcosθ}{2cosθ+3}$
要使小球能绕O'点在竖直平面内做圆周运动，OO'的距离应满足的条件是 d≥L-R=$\frac{3L}{2cosθ+3}$
即$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$
答：为了使小球能绕Oˊ点在同一竖直平面内做圆周运动，OOˊ的距离d应满足的条件是$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$．

点评 本题综合考查了机械能守恒和牛顿第二定律，关键抓住小球在最高点临界条件：重力等于向心力，求得最小速度．