题目内容
20．
如图所示，底面半径为R=1m的平底漏斗水平放置，质量为m=1kg的小球置于底面边缘，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为37°．现给小球一垂直于半径向里的某一初速度，使之在漏斗内做圆周运动，（重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：（1）小球不脱离底面时，角速度ω的取值？
（2）当小球转动的角速度ω1=2rad/s时底面的支持力F1和侧壁的支持力F2多大？
分析 （1）小球在漏斗底面内做匀速圆周运动，合外力提供向心力，对小球受力分析，分底面的支持力为零和不为零两种情况，根据牛顿第二定律列式讨论即可求解．
（2）对小球进行受力分析，水平方向的分力提供向心力，竖直方向处于平衡状态，分别列方程即可求出．
解答 解：（1）小球在漏斗底面内做匀速圆周运动，合外力提供向心力，对小球受力分析，受到重力、底面的支持力以及侧面的弹力，若侧面对小球的弹力竖直方向分量恰好等于重力时，小球受两个力的作用，恰好要离开地面；
当底面对小球的支持力为零时，由重力和侧面的弹力的合力提供向心力，则有：
mgtanθ=mω2R
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{R}}=\sqrt{\frac{10×tan37°}{1}}=5\sqrt{0.3}$rad/s；
（2）当小球转动的角速度ω1=2rad/s时小球的受力如图，侧壁的支持力F2沿水平方向的分力提供向心力，得：
${F}_{2}sin37°=m{ω}_{1}^{2}R$
得：F2=$\frac{20}{3}$N
竖直方向：F2cos37°+F1=mg
得：F1=$\frac{14}{3}$N
答：（1）小球不脱离底面时，角速度ω的取值是$5\sqrt{0.3}$rad/s
（2）当小球转动的角速度ω1=2rad/s时底面的支持力F1和侧壁的支持力F2分别是$\frac{14}{3}N和\frac{20}{3}N$．
点评 解决本题的关键知道向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解，明确当底面对小球的支持力为零时，由重力和侧面的弹力的合力提供向心力．
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