Question

5．一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一条不计质量，长为l（l＜OA）的细绳一端固定在顶点O，另一端拴一质量为m的物体（看作质点）．物体以速度v绕圆锥体的轴OC在水平面内作匀速圆周运动，如图所示．求：
（1）当物体刚好不压圆锥体时线速度v0；
（2）当物体线速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$时，分别求出绳和圆锥体对物体的作用力；
（3）当物体线速度 v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$时，分别求出绳和圆锥体对物体的作用力．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力

解答 解：（1）当物体刚好不压圆锥体时，受力如图：

由牛顿运动定律有mgtan30°=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{lsin30°}$
得v₀=$\sqrt{gltan30°sin30°}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}gl}$
（2）当物体线速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$＜v₀，所以物体仍与圆锥面接触，受力如图：

由牛顿运动定律：
y方向：Tcos30_°+Nsin30°-mg=0
x方向：Tsin30°-Ncos30°=m$\frac{{v}^{2}}{lsin30°}$
解得T=（$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）mg
    N=（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$）mg
（3）当v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$＞v₀，小球已经飞离斜面，所以圆锥体对物体的作用力为0  
设绳与水平方向夹角为θ，

提供的向心力　F=$\frac{mg}{tanθ}$　　　　　
所需的向心力F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中r=lcosθ
所以F=$\frac{mg}{tanθ}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
化简得sin²θ$+\frac{3}{2}$sinθ-1=0　　
解得　 θ=30°
所以拉力T=2mg　
答：（1）当物体刚好不压圆锥体时线速度v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}gl}$；
（2）当物体线速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$时，绳和圆锥体对物体的作用力分别为（$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）mg、（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$）mg；
（3）当物体线速度 v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$时，绳和圆锥体对物体的作用力分别为2mg、0

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．