题目内容

如图，光滑水平面上带电量为q、质量为m的小球P靠在一劲度系数为k的轻弹簧的右端．现将弹簧向左压缩长度为L后自A点静止释放小球P，小球P运动到B处时恰与静止的不带电的相同小球Q相碰并粘在一起，进入水平向右的匀强电场中．C点右侧是垂直纸面向里的匀强磁场，小球运动到C点时，电场突然变为竖直向上，但大小不变．此后物体开始在竖直平面内作圆周运动，到达最高点时撤去电场，小球正好又落回B点．已知AB=BC=L，弹簧的弹性势能与其形变量x的关系是Ep=
1
2
kx2，式中k为弹簧的劲度系数．求：
（1）判断小球P的电性和在B点碰后的共同速度；
（2）电场强度E和磁感应强度B的大小；
（3）若把小球P从A到B的过程视为简谐运动，其周期T=2π
m
k
，则小球从A出发最终落回到B点的总时间．
分析：（1）小球进入磁场后在竖直平面内做圆周运动，知小球受重力和电场力平衡，从而确定出小球的电性．根据能量守恒，求出小球刚离开弹簧时的速度，再根据动量守恒定律求出和B碰后的共同速度．
（2）根据进入磁场后，重力与电场力平衡，求出电场强度的大小；碰撞后的结合体做圆周运动到最高点，撤去电场，将做平抛运动，根据水平位移和速度，求出运动的时间，从而求出竖直的位移（直径），根据带电粒子在磁场中运动的半径公式，求出磁感应强度的大小．
（3）小球从A出发最终落回到B点的过程中可分为四个过程，第一段A到B做简谐运动，第二段B到C做匀加速直线运动，第三段圆周运动（半圈），第四段平抛运动，分别求出四段时间，再求和．
解答：解：（1）小球进入磁场后做圆周运动，知重力和电场力平衡．则电场力的方向竖直向上，该小球的电性为正电．由 能量守恒得：
1
2
kL2=
1
2
mv2 
解得 v=
kL2
m

由动量守恒得，碰撞后的共同速度为v′．
mv=2mv′v′=
kL2
4m

（2）2mg=qE     则E=
2mg
q

B到C段的加速度a=
qE
2m
=g
     v12-v′2=2aL    
撤去电场后做平抛运动，平抛运动的时间t=
L
v1

     2R=
1
2
gt2
带电粒子在磁场中运动时qvB=m
v2
R

B=
mv1
qR
=
4m
gqL2
(2gL+
kL2
4m
)
3
2

（3）第一段简谐运动的时间t1=
T
4
=
π
2
m
k

第二段匀加速直线运动的时间t2=
v1-v′
a
=
2gL+
kL2
4m
-
kL2
4m
g

 第三段在磁场中运动的时间t3=
T′
2

         T′=
2πm
qB

所以t3=
πm
qB
=
πm
4m
gL2
(2gL+
kL2
4m
)
3
2

第四段做平抛运动的时间t4=
L
v1
=
L
2gL+
kL2
4m

小球从A出发最终落回到B点的总时间
t=t1+t2+t3+t4=
π
2
m
k
+
2gL+
kL2
4m
-
kL2
4m
g
+
πm
4m
gL2
(2gL+
kL2
4m
)
3
2
+
L
2gL+
kL2
4m
点评：解决本题的关键搞清楚整个过程的运动，整个过程有简谐运动、匀加速直线运动、圆周运动、平抛运动．
练习册系列答案
相关题目
如图，光滑水平面上固定着一对竖直放置的平行金属板G和H．在金属板G右壁固定一个可视为质点的小球C，其质量为 MC=0.01kg、带电量为q=+1×10-5C．G、H两板间距离为d=10cm，板H下方开有能让小球C自由通过的小洞．质量分别为MA=0.01kg和MB=0.02kg的不带电绝缘小球A、B用一轻质弹簧连接，并用细线栓连使弹簧处于压缩状态，静放在H板右侧的光滑水平面上，如图（a）所示．现将细线烧断，小球A、B在弹簧作用下做来回往复运动（A球不会进入G、H两板间）．以向右为速度的正方向，从烧断细线断开后的某时刻开始计时，得到A球的速度-时间图象如图（b）所示．
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（1）求在t=0、
T
4
、
3T
4
时刻小球B的速度，并在图（b）中大致画出B球的速度-时间图象；
（2）若G、H板间是电场强度为E=8×104V/m的匀强电场，在某时刻将小球C释放，则小球C离开电场时的速度为多大？若小球C以离开电场时的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试求弹簧的最大弹性势能的范围．

如图,在光滑水平面上固定一个小球A,用一根原长为L0由绝缘材料制成的轻弹簧把A球和另一个小球B连接起来.然后让两球带上等量的同种电荷Q,这时弹簧的伸长量为X1,如果设法使AB的电量各减少一半,这时弹簧的伸长量为X2,则(       )

 

A. X2= X1            

B. X2= X1/ 4

C. X2>X1/ 4         

D. X2<X1/ 4

 
如图，光滑水平面上固定着一对竖直放置的平行金属板G和H。在金属板G右壁固定一个可视为质点的小球C，其质量为 Mc＝0.01 kg、带电荷量为q＝＋1×10-5 C。G、H两板间距离为d＝10 cm，板H下方开有能让小球C自由通过的小洞。质量分别为Ma＝0.01 kg和Mb＝0.02 kg的不带电绝缘小球A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，静放在H板右侧的光滑水平面上，如图a所示。现将细线烧断，小球A、B在弹簧作用下做来回往复运动（A球不会进入G、H两板间）。以向右为速度的正方向，从细线断开后的某时刻开始计时，得到A球的速度—时间图象如图(b)所示。

图（a）

图（b）

（1）求在t=0、、时刻小球B的速度，并在图(b)中大致画出B球的速度—时间图象；

（2）若G、H板间是电场强度为E=8×104 V/m的匀强电场，在某时刻将小球C释放，则小球C离开电场时的速度为多大？若小球C以离开电场时的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试定量分析在各种可能的情况下弹簧的最大弹性势能（即最大弹性势能的范围）。
如图，光滑水平面上带电量为q、质量为m的小球P靠在一劲度系数为k的轻弹簧的右端．现将弹簧向左压缩长度为L后自A点静止释放小球P，小球P运动到B处时恰与静止的不带电的相同小球Q相碰并粘在一起，进入水平向右的匀强电场中．C点右侧是垂直纸面向里的匀强磁场，小球运动到C点时，电场突然变为竖直向上，但大小不变．此后物体开始在竖直平面内作圆周运动，到达最高点时撤去电场，小球正好又落回B点．已知AB=BC=L，弹簧的弹性势能与其形变量x的关系是Ep=，式中k为弹簧的劲度系数．求：
（1）判断小球P的电性和在B点碰后的共同速度；
（2）电场强度E和磁感应强度B的大小；
（3）若把小球P从A到B的过程视为简谐运动，其周期，则小球从A出发最终落回到B点的总时间．

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