Question

如图，光滑水平面上固定着一对竖直放置的平行金属板G和H。在金属板G右壁固定一个可视为质点的小球C，其质量为 M_c＝0.01 kg、带电荷量为q＝＋1×10^-5 C。G、H两板间距离为d＝10 cm，板H下方开有能让小球C自由通过的小洞。质量分别为M_a＝0.01 kg和M_b＝0.02 kg的不带电绝缘小球A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，静放在H板右侧的光滑水平面上，如图a所示。现将细线烧断，小球A、B在弹簧作用下做来回往复运动（A球不会进入G、H两板间）。以向右为速度的正方向，从细线断开后的某时刻开始计时，得到A球的速度—时间图象如图(b)所示。

图（a）

图（b）

（1）求在t=0、、时刻小球B的速度，并在图(b)中大致画出B球的速度—时间图象；

（2）若G、H板间是电场强度为E=8×10⁴ V/m的匀强电场，在某时刻将小球C释放，则小球C离开电场时的速度为多大？若小球C以离开电场时的速度向右匀速运动，它将遇到小球A，并与之结合在一起运动，试定量分析在各种可能的情况下弹簧的最大弹性势能（即最大弹性势能的范围）。

Answer 1

解：本题考查静电学、动力学、能量、动量的综合运用能力。考查动量守恒定律、能量守恒定律的理解和应用。考查逻辑推理能力、综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力和探究能力。

（1）对于小球A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒：

M_Av_A+M_Bv_B=0

v_B===

当t=0时有：v_B1=×0=0

当t=时有：v_B1=×4 m/s=－2 m/s

当t=时有：v_B3=×(-4) m/s=2 m/s

小球B的速度图象如图所示。

（2）当金属板间加有匀强电场时，电场力对小球做功，小球获得初动能并离开金属板，电场力做功：

W=qEd=1×10^-5×8×10⁴×0.1 J=0.08 J

由动能定理得：

W=  v_C= m/s=4 m/s

因水平方向A、B、C三小球系统不受外力，故系统动量守恒。

由此可得：不论A、C两球何时何处相碰，三球的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的总动能是一定值。

M_Cv_C＝（M_A＋M_B＋M_C）v_共,解得v_共＝1 m/s

当三球速度相同时弹簧的弹性势能最大。

当A球在运动过程中速度为4 m/s且与C球同向时，跟C球相碰，系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中弹簧具有的最大弹性势能设为E₁

E₁=(M_A+M_B+M_C)v_共²=0.18 J

当A球在运动过程中速度为4 m/s与C球反向时，跟C球相碰，系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中弹簧具有的最大弹性势能设为E₂

M_Cv_C—M_Av_A＝（M_A+M_C）v₃,解得v₃ =0

E₂＝（M_A＋M_C）v₃²＋（M_A＋M_B＋M_C）v_共²＝0.02 J

由上可得：弹簧具有的最大弹性势能E_pM的可能值在0.02 J—0.18 J的范围内。