Question

5．如图所示，在方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场中，沿水平面固定一个“V”字形金属框架CAD，已知∠A=2θ，导体棒EF在框架上从A点开始在外力作用下，沿垂直EF方向以速度v匀速向右平移，使导体棒和框架始终构成等腰三角形回路．已知框架和导体棒的材料和横截面积均相同，其单位长度的电阻均为R，框架和导体棒均足够长，导体棒在运动中始终与框架接触良好．求：
（1）回路中的电流I
（2）回路消耗的电功率P随时间t变化关系式．

Answer 1

分析 先得到回路中有效切割长度与时间的关系式，再由法拉第电磁感应定律、欧姆定律列出感应电动势、电流与时间的表达式，功率与时间的表达式．

解答 解：（1）设框架运动时间为t时，通过的位移为x=vt，则连入电路的导体的长度为：L=2xtan$\frac{θ}{2}$，则回路的总电阻为：R_总=R（2xtan$\frac{θ}{2}$+$\frac{2x}{cos\frac{θ}{2}}$）
导体棒产生的感应电动势为 E=BLv=B2x$tan\frac{θ}{2}$v，则电流与t的关系式为：I=$\frac{E}{{R}_{总}}=\frac{B2xtan\frac{θ}{2}v}{R（2xtan\frac{θ}{2}+\frac{2x}{cos\frac{θ}{2}}）}$=$\frac{Bvtan\frac{θ}{2}}{R（tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{cos\frac{θ}{2}}）}$．
（2）运动x时的功率为：P=I²R_总=I²R（2xtan$\frac{θ}{2}$+$\frac{2x}{cos\frac{θ}{2}}$）=$\frac{{2B}^{2}{v}^{2}ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}{R（tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{cos\frac{θ}{2}}）}vt$．
答：（1）回路中的电流I=$\frac{Bvtan\frac{θ}{2}}{R（tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{cos\frac{θ}{2}}）}$．
（2）回路消耗的电功率P随时间t变化关系式为P=$\frac{{2B}^{2}{v}^{2}ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}{R（tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{cos\frac{θ}{2}}）}vt$．

点评 本题根据物理规律推导电流和功率的解析式，这是常用的研究方法，本题注重位移变化引起电动势和电阻的变化，但比值不变．