Question

10．如图所示为一传送带，竖直光滑圆弧轨道ABC半径R=1m，O为圆心，圆心角为127°，传送带DE与水平方向的夹角为θ=30°，长为L=4m．圆弧轨道的末端C点有一段小圆弧与传送带D点相切，现从与O点等高处的A点无初速度释放一物体，经圆弧轨道由C点滑上传送带，假设物体由圆弧轨道滑上传送带的速度不变，物体与传送带间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．
（1）若传送带不动，那么物体能否到达E点．
（2）若传送带以5m/s的速度顺时针转动，求物体从D点到达E点的时间．
（3）要想尽快地从D点到达E点，传送带的速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒定律求出物体到达C点时的速度，再由动能定理求解物体沿传送带上滑的最大高度，即可作出判断．
（2）物体在传送带上受到重力、支持力和摩擦力作用先做匀加速直线运动，当速度和传送带速度一样时开始做匀速运动（是否能匀速需要进行判断），根据总位移为4m，可以求出整个运动过程的时间t．
（3）当物体一直做匀加速运动时，从D到E的时间最短，根据速度位移公式求解．

解答 解：（1）从A到C，由机械能守恒得：mgRcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=4m/s
物体在传送带上滑的过程，设上滑的最大距离为S，由动能定理得：-mgSsin30°-μmgcos30°•S=0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 S=0.64m＜L=4m，故物体不能到达E点．
（2）若传送带以5m/s的速度顺时针转动，物体先作匀加速运动，根据牛顿第二定律可得：
此时物体的加速度 a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=2.5m/s²；
速度增大至与传送带相同所用时间 t₁=$\frac{{v}_{带}-{v}_{C}}{{a}_{1}}$=$\frac{5-4}{2.5}$s=0.4s
此过程通过的位移 x₁=$\frac{{v}_{C}+{v}_{带}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4+5}{2}×$0.4m=1.8m
由于μmgcos30°＞mgsin30°，所以物体速度与传送带相同后与传送带一起做匀速运动，所用时间 t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{带}}$=$\frac{4-1.8}{4}$s=0.55s
故物体从D点到达E点的时间 t=t₁+t₂=0.95s
（3）当物体一直做匀加速运动时，从D到E的时间最短，设传送带的最小速度为v．则有
  v²-${v}_{C}^{2}$=2aL
可得 v=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+2aL}$=$\sqrt{{4}^{2}+2×2.5×4}$=6m/s
答：（1）若传送带不动，那么物体不能到达E点．
（2）若传送带以5m/s的速度顺时针转动，物体从D点到达E点的时间为0.95s．
（3）要想尽快地从D点到达E点，传送带的速度至少为6m/s．

点评 该题目的关键就是要正确分析各段物体所受摩擦力的大小和方向，并对物体加速到与传送带有相同速度时，是否已经到达传送带顶端进行判断．