Question

2．如图所示坐标系中，y轴上距原点O为d的P点有一个发射源，能够在纸面内向各个方向发射速率均为v₀，质量为m，电量为q的带正电的小球，不考虑小球间的相互作用及空气阻力．
（1）若在x轴上方只加一匀强电场，电场强度大小E=$\frac{mg}{q}$、方向竖直向下，求同一时刻发射出的小球打到x轴上的最大时间差；
（2）若该匀强电场的场强大小不变，方向改为竖直向上，同时在该区域再加一方向垂直纸面的匀强磁场，磁感强度的大小为B=$\frac{{mv}_{0}}{qd}$，求同一时刻从不同方向发射出的小球打到x轴上的最大时间差．

Answer 1

分析 （1）同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为竖直向上和竖直向下射出的粒子，结合运动学公式求出最大时间差．
（2）粒子在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹，然后求出最大时间差．

解答 解：（1）小球在电场中的 加速度相等，a=$\frac{qE+mg}{m}$=$\frac{q\frac{mg}{q}+mg}{m}$=2g，
最大时间差为竖直向上和竖直向下射出的粒子，
其运动时间差为小球从P向上运动到再回到P的时间，△t=2$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$；
（2）电场力大小：F=qE=mg，方向与重力方向相反，重力与电场力合力为零，
小球所受合外力为洛伦兹力，小球做圆周圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=d，
小球在磁场中运动的最长时间与最短时间运动轨迹如图所示：

粒子的最长运动时间：t₁=$\frac{3}{4}$T，粒子的最短运动时间：t₂=$\frac{1}{6}$T，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πd}{{v}_{0}}$，
粒子运动的最大时间差：△t′=t₁-t₂=$\frac{7πd}{6{v}_{0}}$；
答：（1）同一时刻发射出的小球打到x轴上的最大时间差为$\frac{{v}_{0}}{g}$；
（2）同一时刻从不同方向发射出的小球打到x轴上的最大时间差为$\frac{7πd}{6{v}_{0}}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是解题的关键；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；确定带电粒子轨迹的范围一般应用画图的方法找出，同时可以结合几何知识进行分析．