Question

10．如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v₀=2m/s的初速度，在拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m．已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．重力加速度g取10m/s²．
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；
（2）若拉力F方向沿斜面向上，求拉力F的大小；
（3）若拉力F与斜面成a角，推导拉力F随a变化的关系式并求F的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的位移时间公式求出物块的加速度，结合速度时间公式求出物块到达B点的速度．
（2）根据牛顿第二定律，抓住物块在垂直斜面方向上合力为零，沿斜面方向产生加速度，求出拉力F的大小．
（3）若拉力F与斜面成a角，根据垂直于斜面和平行于斜面上的受力，列出方程求出F的表达式，灵活运用三角函数公式求出最小值．

解答 解：（1）设物块加速度大小为a，到达B点时的速度大小为v，由运动学公式得：
L=${v}_{b}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
v=v₀+at，
代入数据解得：a=3m/s²，v=8m/s．
（2）若拉力F的方向沿斜面向上，则有：
F-mgsinθ-μmgcosθ=ma        
代入数据解得：F=5.2N        
（3）若拉力F与斜面成a角，则有：
Fcosa-mgsinθ-μN=ma
N+Fsina=mgcosθ           
解得：F=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ+ma}{cosa+μsina}=\frac{5.2}{cosa+μsina}$ 
令y=cosa+μsina，则有：
y=cosa+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sina=$\frac{cosasin60°+sinacos60°}{sin60°}$=$\frac{sin（60°+a）}{sin60°}$
当a=30°时，y有最大值，F有最小值为：
F_min=4.5N    
答：（1）求物块加速度的大小为3m/s²，到达B点时速度的大小为8m/s．；
（2）若拉力F方向沿斜面向上，拉力F的大小为5.2N；
（3）若拉力F与斜面成a角，拉力F随a变化的关系式为F=$\frac{5.2}{cosa+μsina}$，F的最小值为4.5N．

点评 本题是已知运动情况确定受力情况，关键先根据运动学公式求解加速度，然后根据牛顿第二定律列式讨论．