Question

8．已知某星球表面重力加速度大小为g₀，半径大小为R，自转周期为T，万有引力常量为G．求：
（1）该星球质量；
（2）该星球同步卫星运行轨道距离星球表面的高度；
（3）该星球同步卫星运行速度的大小．

Answer 1

分析 （1）由星球表面万有引力等于重力可得星球质量．
（2）由万有引力提供向心力的周期表达式，可得卫星的离地高度．
（3）根据匀速圆周运动的线速度公式，即可求解．

解答 解：（1）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀
解得星球质量为：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$      
（2）由$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）  
且GM=g₀R²
解得：h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R  
（3）由v=$\frac{2π}{T}$（R+h）   
解得：v=$\frac{2π}{T}$$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2π{g}_{0}{R}^{2}}{T}}$   
答：（1）该星球质量$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$；
（2）该星球同步卫星运行轨道距离星球表面的高度$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（3）该星球同步卫星运行速度的大小$\root{3}{\frac{2π{g}_{0}{R}^{2}}{T}}$．

点评 本题首先明确在星球表面万有引力等于重力，其次要会用万有引力提供向心力的各种表达式，基础题．