Question

18．一橡皮球从高h处自由落F，当它着地时又有第二个橡皮球从同一点自由落下．假设第一个橡皮球落地时竖直跳起的速度是落地时速度的$\frac{1}{p}$，那么在第二个小球下落后经多少时间在多高地方两球相遇（略去小球撞地的时间）？并讨论p的取值范围和相遇时两小球的运动情况．

Answer 1

分析 抓住两球在空中相遇，结合位移关系求出时间的表达式，抓住相遇的时间小于反弹做竖直上抛运动到达地面的时间，求出p的取值范围．

解答 解：设第一个球落地时的速度大小为v，根据速度位移公式得  v=$\sqrt{2gh}$
反弹的速度大小 v′=$\frac{v}{p}$=$\frac{\sqrt{2gh}}{p}$
设第一个球着地后经过t时间两球在空中相遇，则有：
   v′t-$\frac{1}{2}$gt²+$\frac{1}{2}$gt²=h
则得 t=$\frac{h}{v′}$=$\frac{ph}{v}$=p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$．
相遇点的高度 h′=h-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=h（1-$\frac{{p}^{2}}{4}$）
第一个球着地后在空中运动的总时间 t′=$\frac{2v′}{g}$=$\frac{2v}{pg}$=$\frac{2\sqrt{2gh}}{pg}$
当0＜t＜$\frac{v′}{g}$时，两球在第一个球上升的过程中相遇，即有 0＜p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$＜$\frac{v′}{g}$，解得0＜p＜$\sqrt{2}$．
当t=$\frac{v′}{g}$时，两球在第一个球上升到最高点时相遇，即有 p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$=$\frac{v′}{g}$，解得  p=$\sqrt{2}$．
当$\frac{v′}{g}$＜t＜$\frac{2v′}{g}$时，两球在第一个球下落的过程中相遇，即有 $\frac{v′}{g}$＜p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$＜$\frac{2v′}{g}$，解得 $\sqrt{2}$＜p＜2．
答：在第二个小球下落后经p$\sqrt{\frac{h}{2g}}$时间在h（1-$\frac{{p}^{2}}{4}$）高地方两球相遇．当0＜p＜$\sqrt{2}$时，两球在第一个球上升的过程中相遇．当p=$\sqrt{2}$时，两球在第一个球上升到最高点时相遇．当$\sqrt{2}$＜p＜2时，两球在第一个球下落的过程中相遇．

点评 解决本题的关键知道自由落体运动和竖直上抛运动的运动规律，抓住位移关系，根据时间关系进行求解．