Question

6．如图所示，长度为L的细绳一端固定在O点，另一端系一小球，O点正下方O′位置固定一枚钉子，将小球从水平位置A由静止释放，使小球绕O点下摆，由于钉子挡住细绳，后来又绕O′点上摆，当小球运动到最高点C位置时，细绳上的拉力为小球重力的5倍
（1）求O点与O′点的高度差H；
（2）为使细绳碰到钉子后小球的圆周运动能够到达最高点，求h的最小值．

Answer 1

分析 （1）当小球运动到最高点C位置时，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球通过C点的速度，再由机械能守恒定律求O点与O′点的高度差H；
（2）为使细绳碰到钉子后，小球恰好到达最高点时，绳子拉力为零，由重力充当向心力，根据牛顿第二定律求出C点的临界速度，再由机械能守恒定律结合求h的最小值．

解答 解：（1）设小球运动到最高点C位置圆周的半径为r．在C点时，根据牛顿第二定律得：
T+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
由题有：T=5mg
根据机械能守恒定律得：
mg（L-2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得：r=$\frac{1}{5}$L
所以O点与O′点的高度差为：H=L-r=$\frac{4}{5}$L．
（2）设小球做完整圆周运动时其轨道半径为R，小球刚好通过最高点C的条件为：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
小球从静止释放至运动到最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，则根据 机械能守恒定律得：
mg（L-2R）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：R=$\frac{2}{5}$L．
所以h的最小值为：h=L-R=$\frac{3}{5}$L．
答：（1）O点与O′点的高度差H是$\frac{4}{5}$L；
（2）为使细绳碰到钉子后小球的圆周运动能够到达最高点，h的最小值是$\frac{3}{5}$L．

点评 解决本题的关键知道小球在竖直面内做圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力，结合牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解．