Question

质量为M的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上．滑块开始时静止，质量为m的物块从圆弧轨道的最高点由静止开始滑下，以速度v从滑块的水平轨道的左端滑出，如图所示．已知M：m=3：1，物块与水平轨道之间有摩擦，圆弧轨道的半径为R
①求物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小；
②若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件．

Answer 1

分析：①M和m组成的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律求出物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小．
②要使物块m不会越过滑块，即物块滑到滑块的最高点时，两者具有相同的速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出物块冲上滑块的初速度应满足的条件．

解答：解：①对于滑块M和物块m组成的系统，物块沿轨道滑下的过程中，水平方向上动量守恒，物块滑出时，有：
mv=MV
滑块M的速度V=

m

M

v=

1

3

v，方向向右．
②物块以速度v₀冲上轨道，初速度越大，冲上圆弧轨道的高度越大．若物块刚能达到最高点，两者有相同的速度V₁，此为物块不会越过滑块的最大初速度．对于M和m组成的系统，水平方向动量守恒，有mv₀=（m+M）V₁
相互作用的过程中，系统总动能减小，转化为内能Q和重力势能，有：

1

2

mv02-

1

2

(m+M)V12=Q+mgR
物体在水平面上滑动时，系统产生的内能Q=mgR-

1

2

mv2-

1

2

MV2．
解得v0=

4

3

3gR-v2

．
要使物块m不会越过滑块，其初速度v0≤

4

3

3gR-v2

．
答：①物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小为

1

3

v，方向向右．
②物块冲上滑块的初速度应满足的条件初速度v0≤

4

3

3gR-v2

．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律，关键抓住临界状态，两者有相同的速度时，物块恰好不越过滑块．