Question

17．如图所示，单匝金属圆环处于匀强磁场中，匀强磁场的方向垂直于圆环所在的平面，金属圆环的电阻为R，圆环正以直径ab为转轴以角速度ω匀速转动，当从图示位置开始计时，金属圆环转过$\frac{π}{4}$时的感应电流为I，则下列说法正确的是（　　）

• A． 金属圆环中感应电流的有效值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$I
• B． 金属圆环转动过程中穿过金属圆环的磁通量的最大值为$\frac{\sqrt{2}IR}{ω}$
• C． 从图示位置开始转过$\frac{π}{2}$的过程中，通过金属圆环横截面的电荷量为$\frac{\sqrt{2}I}{ω}$
• D． 金属圆环转一周的过程中，产生的热量为$\frac{2{πI}^{2}R}{ω}$

Answer 1

分析 A、先写出线圈产生的感应电动势瞬时值表达式，利用欧姆定律写出感应电流的瞬时值表达式，将金属圆环转过$\frac{π}{4}$时的感应电流为I代入，求出感应电流的最大值，再计算感应电流的有效值；
B、穿过金属圆环的磁通量的最大值Φ_m=BS，利用其与感应电流最大值的关系，求出Φ_m；
C、推导出通过金属圆环横截面的电荷量计算公式$q=\frac{△Φ}{R}$，求出从图示位置开始转过$\frac{π}{2}$的过程中磁通量的变化，得出通过金属圆环横截面的电荷量q；
D、利用焦耳定律计算金属圆环转一周的过程中产生的热量．

解答 解：A、该线圈产生的感应电动势瞬时值表达式为e=NBSωsinωt=BSωsinωt，则感应电流的瞬时值表达式为$i=\frac{e}{R}=\frac{BSω}{R}sinωt$=I_msinωt，金属环转动周期T=$\frac{2π}{ω}$，金属圆环转过$\frac{π}{4}$时的时间为$t=\frac{\frac{π}{4}}{2π}T=\frac{π}{4ω}$，将t代入感应电流的瞬时值表达式得感应电流的最大值${I}_{m}=\sqrt{2}I$，则金属圆环中感应电流的有效值为$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$=I，A错误；
B、由上述分析可知${I}_{m}=\frac{BSω}{R}=\sqrt{2}I$，穿过金属圆环的磁通量的最大值Φ_m=BS，即有$\frac{{Φ}_{m}ω}{R}=\sqrt{2}I$，得${Φ}_{m}=\frac{\sqrt{2}IR}{ω}$，B正确；
C、通过金属圆环横截面的电荷量$q=\overline{I}△t$，而感应电流平均值$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，而平均感应电动势由法拉第电磁感应定律有$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$，代入可得$q=\frac{△Φ}{R}$，而从图示位置开始转过$\frac{π}{2}$的过程中，△Φ=${Φ}_{m}=\frac{\sqrt{2}IR}{ω}$，可得$q=\frac{△Φ}{R}$=$\frac{\sqrt{2}I}{ω}$，C正确；
D、金属圆环转一周的过程中，产生的热量Q=I²RT=$\frac{2π{I}^{2}R}{ω}$，D正确；
故选：BCD．

点评 解答本题的过程中注意感应电流最大值、瞬时值、平均值和有效值的区别与联系，计算通过导体的电荷量用感应电流的平均值，电表测量的是电流的有效值，计算焦耳热也是用电流的有效值．