Question

3．如图1所示为一种电磁装置，由粒子源、加速电场、偏转电场、匀强磁场组成．在S点有一粒子源，能不断释放电量为q，质量为m的静止带电粒子，被加速电压为U，极板间距离为d的匀强电场加速后，从正中央垂直射入电压为U的匀强偏转电场（偏转电场中场强随时间变化如图2所示），偏转极板长度和极板距离均为L，带电粒子在偏转电场中一次偏转后即进入一个垂直纸面方向的匀强磁场，其磁感应强度为B．若不计重力影响，欲使带电粒子通过某路径返回S点，求：
（1）粒子进入磁场时速度大小．
（2）匀强磁场的宽度D至少为多少？
（3）该带电粒子周期性运动的周期T是多少？偏转电压正负极多长时间变换一次方向？

Answer 1

分析 （1）对在加速电场中运用动能定理，结合在偏转电场中做类平抛运动求出偏转位移的大小和偏转角，对整个过程运用动能定理，求出粒子进入磁场的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径，结合几何关系求出匀强磁场的最小宽度．
（3）粒子在加速电场中匀加速直线匀加速直线运动，在偏转电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，结合运动学公式和推论以及在磁场中运动的周期公式求出带电粒子的周期T．偏转电压正负极变换一次方向的时间等于粒子在磁场中运动的时间．

解答 解：（1）如图所示，电场对粒子加速，由动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=qU$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
由于粒子在电场加速过程中做匀加速直线运动，则加速的时间：
${t}_{1}=\frac{d}{\frac{{v}_{0}}{2}}=\frac{2d}{{v}_{0}}$，
粒子在偏转电场中做类平抛运动，其加速度为：a=$\frac{qU}{mL}$，
粒子通过偏转电场的时间为：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$，
粒子在偏转电场中的侧移距离为：
$y=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}=\frac{L}{4}$
侧向速度为：${v}_{y}=a{t}_{2}=\sqrt{\frac{qU}{2m}}$，
则粒子射出偏转电场时的速度为：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
（2）以速度v进入磁场做匀速圆周运动，设半径为R，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}$，
则磁场宽度D为：$D=R+\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}+\sqrt{\frac{5mU}{2q{B}^{2}}-\frac{{L}^{2}}{16}}$，
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：$T′=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
tanθ=$\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{4}}=2$，
得：θ=arctan2
所以粒子在磁场中运动的时间为：${t}_{3}=\frac{T′（2π-2θ）}{2π}=\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
粒子从S出发回到S的周期为：T=2t₁+2t₂+t₃=$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，
偏转电压正负极换向实际t为：
t=$\frac{T}{2}$=$2m\sqrt{\frac{m}{2qU}}+L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{m（π-arctan2）}{qB}$．
答：（1）粒子进入磁场时速度大小为$\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
（2）匀强磁场的宽度D至少为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5mU}{2q}}+\sqrt{\frac{5mU}{2q{B}^{2}}-\frac{{L}^{2}}{16}}$．
（3）该带电粒子周期性运动的周期T是$4d\sqrt{\frac{m}{2qU}}+2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$，偏转电压正负极$2m\sqrt{\frac{m}{2qU}}+L\sqrt{\frac{m}{2qU}}+\frac{m（π-arctan2）}{qB}$时间变换一次方向．

点评 本题考查了粒子在电场中和磁场中的运动问题，关键作出粒子的轨迹，知道粒子在加速电场中做匀加速直线运动，在偏转电场中做类平抛运动，在匀强磁场中做圆周运动，结合动能定理和运动学公式进行求解．