Question

10．如图所示，水平面AB段粗糙，其余部分光滑，左侧固定一根轻质弹簧，右侧与竖直平面内的光滑圆形导轨在B点连接，导轨半径R=0.5m．现用一个质量m=2kg的小球压缩弹簧，弹簧与小球不拴接．用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能E_p=36J．放手后小球向右运动脱离弹簧后，先经过AB段，再沿圆形轨道向上运动．小球与AB段的动摩擦因数为μ=.5，取g=10m/s²．则：
（1）求小球脱离弹簧时的速度大小；
（2）若小球通过圆轨道最低点B时的速度大小为4m/s，求此时小球对轨道压力；
（3）欲使小球能通过最高点C，则AB段长度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）在小球脱离弹簧的过程中只有弹簧弹力做功，根据弹力做功与弹性势能变化的关系和动能定理可以求出小球的脱离弹簧时的速度；
（2）在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力；再根据牛顿第三定律得到压力；
（3）欲使小球能通过最高点C，在C点，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解C点的速度；从B到C处的过程中，机械能守恒，根据守恒定律列式；再对从A到B过程根据动能定理列式分析；最后联立求解即可．

解答 解：（1）设小球脱离弹簧时的速度大小为v₀，根据机械能守恒定律得：
${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
则${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}}=6m/s$
（2）在最低点B，根据牛顿第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
得：N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=84N
根据牛顿第三定律得球对轨道的压力大小为84N，方向竖直向下；
（3）小球恰能通过最高点C时，根据牛顿第二定律有：
mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$，
则${v}_{c}=\sqrt{gR}$
从B到C处的过程中，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
则${v}_{B}=\sqrt{5gR}=5m/s$                    
欲使小球能通过最高点C，则其在最低点B时速度大小v_B≥5m/s
从A到B过程中，根据动能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
则x＜1.1m
所以AB段长度应大于0，且小于1.1m；
答：（1）小球脱离弹簧时的速度大小为6m/s；
（2）若小球通过圆轨道最低点B时的速度大小为4m/s，此时小球对轨道压力为84N，向下；
（3）欲使小球能通过最高点C，则AB段长度应满足0＜x＜1.1m的条件．

点评 本题是力学综合问题，关键是灵活选择运动过程和状态，结合机械能守恒定律、动能定理和向心力公式列式求解，不难．