Question

13．如图所示，平行金属导轨MN、PQ放置在水平面上，导轨宽度L=0.5m，其左端接有R=2Ω的定值电阻，导轨MN上X＞0部分是单位长度电阻ρ=6Ω/m的均匀电阻丝，其余部分电阻不计，垂直于导轨平面的磁场，其磁感应强度B_X随位移X发生变化．质量m=1kg，电阻不计的导体棒垂直于导轨放置，导体棒与两导轨间的动摩擦因数均为μ=0.2，现在施加沿X轴正方向的外力F使导体棒以v=4m/s的速度从坐标原点O开始向右做匀速直线运动，导体棒运动过程中电阻R上消耗的电功率P=8W且恒定．求：

（1）导体棒运动过程中电阻通过的电流强度I；
（2）磁感应强度B_X随位移X变化的函数关系式；
（3）从O点开始计时，导体棒运动2秒的时间内拉力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据P=I²R，求出导体棒运动过程中电阻通过的电流强度；
（2）根据切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律，抓住电流大小不变，求出磁感应强度B_X随位移X变化的函数关系式；
（3）求出2s时间内导体棒的位移，根据安培力公式得出安培力的表达式，抓住安培力随位移成线性关系，求出该过程中的平均安培力大小，结合动能定理求出导体棒运动2秒的时间内拉力所做的功．

解答 解：（1）根据P=I²R 得                ①
$I=\sqrt{\frac{P}{R}}$=$\sqrt{\frac{8}{2}}$A=2A                        ②
（2）在位移为X处：
电动势E_X=B_XLv                         ③
导轨电阻R_X=ρX                         ④
电路中的电流I_X=$\frac{E_X}{{{R_X}+R}}$    ⑤
依题意I_X=I                             ⑥
由②③④⑤⑥解得：${B_X}=\frac{ρ}{Lv}\sqrt{\frac{p}{R}}X+\frac{R}{Lv}\sqrt{\frac{P}{R}}$   ⑦
代入数据解得B_X=6x+2（T）                        ⑧
（3）在位移为X处导体棒所受安培力为：F_X=B_XIL         ⑨
由⑧⑨代入数据得：F_X=6x+2（N）                           ⑩
t=2s时间内导体棒位移X=vt=4×2m=8m⑪
由于安培力的大小随位移X做线性变化：
t=0时   F₁=2N
t=2s时  F₂=50N
由⑨⑩⑪得：2s内安培力做功
W_安=$\frac{{{F_1}+{F_2}}}{2}X$
代入数据解得W_安=208J⑫
运动2S的时间内摩擦力做的功：W_f=fX=0.2×10×8J=16J⑬
由动能定理W_F-W_安-W _f=△E_K ⑭
由⑫⑬⑭代入数据解得：拉力做功W_F=224J．                
答：（1）导体棒运动过程中电阻通过的电流强度为2A；
（2）磁感应强度B_X随位移X变化的函数关系式为B_X=6x+2（T）；
（3）从O点开始计时，导体棒运动2秒的时间内拉力所做的功为224J．

点评 本题考查了切割产生感应电动势以及感生产生电动势，关键掌握产生电动势的公式，结合闭合电路欧姆定律和共点力平衡进行求解．