Question

8．如图所示，一光滑金属直角形导轨aOb竖直放置，Ob边水平．导轨单位长度的电阻为ρ，电阻可忽略不计的金属杆cd搭在导轨上，接触点为M、N．t=0时，MO=NO=L，B为一匀强磁场，方向垂直纸面向外．（磁场范围足够大，杆与导轨始终接触良好，不计接触电阻）
（1）若使金属杆cd以速率v₁匀速运动，且速度始终垂直于杆向下，求金属杆所受到的安培力随时间变化的表达式；
（2）若保证金属杆接触点M不动，N以速度v₂向右匀速运动，求电路中电流随时间的表达式；
（3）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，则求t时刻外力F的瞬时功率．

Answer 1

分析 （1）经过t时间，金属杆沿速度方向的位移x=v₁t，根据几何关系求出导体棒的长度，再根据E=BLv结合欧姆定律和安培力公式求解；
（2）根据欧姆定律、电阻定律以及E=BLv求解；
（3）P_F安=P_F+P_G，再根据安培力和重力的瞬时功率，从而求出F得瞬时功率即可．

解答 解：（1）经过t时间，产生的感应电动势E=BL′v₁，
感应电流为I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{BL′{v}_{1}}{{R}_{总}}$，
安培力F_安=BIL′=$\frac{{B}^{2}L{′}^{2}{v}_{1}}{{R}_{总}}$，
由几何关系可知L'=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$L+v₁t）=$\sqrt{2}$L+2v₁t，导轨接入闭合电路的长度为2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L'=$\sqrt{2}$L'，
则R_总=$\sqrt{2}$L'ρ．
由以上式子可得F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$．
（2）N以速度v₂向右匀速运动，则导轨水平方向的长度为L+v₂t，
根据欧姆定律得：$I′=\frac{E′}{R}$，
而$E′=BL′\overline{v}$，且$L′=\frac{L}{cosθ}$，$\overline{v}=\frac{0+{v}_{⊥}}{2}$，v_⊥=v₂cosθ，
根据电阻定律得：R=ρ（2L+v₂t），
解得：$I′=\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$
（3）P_F安=P_F+P_G，
而P_F安=F_安v₁，且P_G=mgv₁cos45°，
解得：${P}_{F}=\frac{{B}^{2}{{v}_{1}}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$
答：（1）若使金属杆cd以速率v₁匀速运动，且速度始终垂直于杆向下，金属杆所受到的安培力随时间变化的表达式为F=$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{v}_{1}}{2ρ}（\sqrt{2}L+2{v}_{1}t）$；
（2）若保证金属杆接触点M不动，N以速度v₂向右匀速运动，电路中电流随时间的表达式为$I′=\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$；
（3）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，则t时刻外力F的瞬时功率为$\frac{{B}^{2}{{v}_{1}}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$．

点评 本题主要考查了电磁感应定律、欧姆定律、电阻定律的直接应用，要求同学们能正确分析电路结构，清楚导体棒有效长度的物理意义，难度较大，属于难题．