Question

16．质量为m的四只完全相同的足球叠成两层放在水平面上，底层三只足球刚好接触成三角形，上层一只足球放在底层三只足球的正上面，系统保持静止．若最大静摩擦等于滑动摩擦力，则（　　）

• A． 底层每个足球对地面的压力为mg
• B． 底层每个足球之间的弹力为零
• C． 下层每个足球对上层足球的支持力大小为$\sqrt{\frac{mg}{3}}$
• D． 水平面的摩擦因数至少为$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 根据整体法求出底层每个足球对地面的压力，四只完全相同的足球叠成两层放在水平面上，四个球的球心连线构成了正四面体，四个球都保持静止状态，受力都平衡，对足球受力分析并结合几何关系求解．

解答 解：A、根据整体法，下面每个球对地面的压力为N，3N=4mg，故$\frac{4}{3}$mg；故A错误；
B、四个球的球心连线构成了正四面体，下层每个足球之间的弹力为零，故B正确；
C、上层足球受到重力、下层足球对上层足球的三个支持力，由于三个支持力的方向不是竖直向上，所以三个支持力在竖直方向的分量之和等于重力，则下层每个足球对上层足球的支持力大小大于$\frac{mg}{3}$，故C错误；
D、根据正四面体几何关系可求，F与mg的夹角的余弦值cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，正弦值sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
则有：$\frac{\sqrt{6}}{3}$F+mg=N=$\frac{4}{3}mg$，$\frac{\sqrt{3}}{3}F$=f，
联立解得：f=$\frac{\sqrt{2}}{6}$mg F=$\frac{\sqrt{6}}{6}$mg，
则$μ=\frac{\frac{\sqrt{2}}{6}mg}{\frac{4}{3}mg}=\frac{\sqrt{2}}{8}$，所以水平面的摩擦因数至少为$\frac{\sqrt{2}}{8}$，故D错误
故选：B

点评 本题主要考查了整体法和隔离法的应用，要求同学们能正确对足球进行受力分析，知道四个球的球心连线构成了正四面体，能结合几何关系求解，对同学们的数学能力要求较高，但本题题干出的不是太好，应当注明不考虑转动的情况．