Question

13．宇航员站在某一星球表面上的某高度，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面上，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．不计空气阻力，求该星球的质量M．

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律，知初速度增大到2倍，则水平位移也增大2倍，结合几何关系求出小球落地的高度，通过平抛运动竖直方向上的运动规律求出重力加速度的大小，结合万有引力等于重力求出月球的质量M．

解答 解：设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则：x²+h²=L²
若抛出的初速度为2倍时，则水平位移为2x   因此有：（2x）²+h²=（$\sqrt{3}L$）²
设该星球表面的重力加速度为g'，则：h=$\frac{1}{2}g'{t^2}$，
而在该星球表面上，有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg'$，
解得：M=$\frac{{2\sqrt{3}L{R^2}}}{{3G{t^2}}}（=\frac{{2L{R^2}}}{{\sqrt{3}G{t^2}}}）$；
答：该星球的质量M为：$\frac{{2\sqrt{3}L{R^2}}}{{3G{t^2}}}（=\frac{{2L{R^2}}}{{\sqrt{3}G{t^2}}}）$．

点评 本题综合考查了平抛运动和万有引力的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．